BOLTZMANN VÀ GIỚI HẠN CỦA NHẬN THỨC - CHỨNG MINH KHÔNG PHẢI CHÂN LÝ
Nhìn lại bài toán thứ sáu của Hilbert, phương trình Boltzmann và “niềm vui chiến thắng” của giới toán học. Các bạn thích học toán và làm toán trong thập kỷ 1980 trở về trước chắc không ít người không biết 23 bài toán nổi tiếng của Hilbert. Năm 1900, lúc bình minh của thế kỷ 20, tại Đại hội Quốc tế các nhà Toán học tổ chức ở Paris, David Hilbert đã đưa ra “23 bài toán” thách toàn thể thế giới toán học giải được chúng trong giới hạn 100 năm của thế kỷ 20.
Một số bài khác đã có những kết quả rất quan trọng nhưng vẫn chỉ được xem là giải một phần hoặc còn phụ thuộc vào cách diễn giải; trong khi một số bài vẫn hoàn toàn chưa được giải.
Ví dụ các bài 1, 2, 5, 6, 9, 11, 12, 15, 21, 22 thuộc nhóm “đã giải một phần hoặc còn tranh luận về cách hiểu”. Bài 8 (trong đó có Giả thuyết Riemann) vẫn chưa giải được; bài 13 và 16 vẫn còn mở; bài 4 và 23 được xem là quá mơ hồ để nói đơn giản là “đã giải” hay “chưa giải”
Điều đặc biệt thú vị là Bài toán thứ sáu của Hilbert, bài toán mà tôi muốn nói đến dưới đây, cho đến nay vẫn chưa thể coi là đã được giải hoàn toàn. Mặc dù trong hơn một thế kỷ qua, các nhà toán học đã đạt được những thành tựu rất lớn, đặc biệt trong việc xây dựng các mối liên hệ nghiêm ngặt giữa động lực học vi mô, phương trình Boltzmann và các phương trình chất lưu, nhưng câu chuyện vẫn phức tạp hơn nhiều so với cách nói đơn giản rằng “bài toán đã được giải”.
Và chính ở đây, tôi nghĩ chúng ta cần đặt một câu hỏi thú vị hơn: Rốt cuộc, một định lý toán học được chứng minh nghiêm ngặt có đồng nghĩa với việc chúng ta đã tìm thấy nền tảng vật lý cơ bản của tự nhiên hay chưa, từ đó có thể thấu hiểu tự nhiên hay chưa ?
Tôi lục tìm bài đó và đăng lại dưới đây. Lưu ý: Bài này không phủ nhận giá trị toán học của chương trình Grad–Lanford, mà chủ yếu phản biện việc đánh đồng “chứng minh được quan hệ toán học giữa một mô hình và phương trình Boltzmann” với “đã chứng minh được nền tảng vật lý cơ bản của phương trình Boltzmann”. Đây là trục tư tưởng quan trọng nhất của bài.
Lời mở đầu: Nhìn lại Bài toán thứ sáu của Hilbert
Năm 1900, tại Đại hội Quốc tế các nhà Toán học tổ chức ở Paris, David Hilbert đã đưa ra “23 bài toán” nổi tiếng. Bài toán thứ sáu có tiêu đề là “Đối xử một cách toán học với các tiên đề của vật lý học”.
Đây không phải là một bài toán toán học cụ thể liên quan đến một phương trình hay một mô hình nào đó, mà là một chương trình khoa học có quy mô rất lớn.
Nếu toán học có thể xây dựng hình học trên một hệ tiên đề rõ ràng, thì đối với những lý thuyết vật lý sử dụng toán học làm ngôn ngữ, liệu chúng ta có thể tiếp tục đặt câu hỏi về những khái niệm cơ bản, những giả định cơ bản, cũng như mối quan hệ giới hạn giữa các lý thuyết vật lý, rồi biểu đạt những mối quan hệ đó bằng một ngôn ngữ toán học nghiêm ngặt hay không?
Trong bài toán này, Hilbert đặc biệt đề cập đến lý thuyết xác suất và cơ học, đồng thời từ công trình của Boltzmann, ông liên tưởng tới một hướng nghiên cứu rất quan trọng: Làm thế nào dùng các phương pháp toán học nghiêm ngặt để xử lý quá trình chuyển từ quan điểm nguyên tử đến các định luật chuyển động của môi trường liên tục?
Câu hỏi này về sau đã tạo ra ảnh hưởng sâu rộng. Ngày nay, giới toán học thường cụ thể hóa nó thành một tuyến nghiên cứu như sau: Từ Cơ học Newton của các hạt đến Phương trình Boltzmann rồi tới Các phương trình chất lưu.
Theo cách nhìn này, phương trình Boltzmann trở thành một tầng trung gian quan trọng. Việc lấy khí gồm các quả cầu cứng làm mô hình, rồi nghiên cứu xem từ động lực học Newton trong giới hạn Boltzmann–Grad có thể suy ra phương trình Boltzmann hay không, đã trở thành một trong những con đường toán học để nghiên cứu vấn đề này.
Các công trình của Grad, kết quả nổi tiếng của Lanford trong thời gian ngắn, cùng với hàng chục năm nghiên cứu sau đó, đã khiến hướng nghiên cứu này dần trở thành một lĩnh vực rất lớn của toán vật lý hiện đại.
Những công trình này đương nhiên có giá trị toán học đặc biệt. Chúng đưa rất nhiều bước lập luận vốn trước đây được vật lý học sử dụng dựa trên trực giác, các phép tính hình thức và những lập luận về giới hạn vào trong một khuôn khổ toán học chặt chẽ.
Những khó khăn kỹ thuật trong đó cũng hoàn toàn không thể xem nhẹ. Tuy nhiên, độ khó của một bài toán toán học và chiều sâu của một vấn đề vật lý không phải là cùng một chuyện. Một vấn đề toán học có thể khó bởi vì chúng ta lựa chọn một cách mô tả toán học rất đặc biệt. Nhưng bản thân sự khó khăn ấy không tự động chứng minh cách mô tả đó chính là cách mô tả cơ bản và chân thực nhất của tự nhiên.
Ở đây đặc biệt cần giữ được một mức độ tỉnh táo nhất định về cả lịch sử lẫn khoa học. Vấn đề ban đầu của Hilbert là nghiên cứu toán học về “quá trình từ quan điểm nguyên tử đến các định luật chuyển động của môi trường liên tục”, chứ không phải yêu cầu các nhà toán học chứng minh rằng “sự va chạm giữa những quả cầu thép cứng là vật lý vi mô của tự nhiên”.
Việc cụ thể hóa chương trình lớn của Hilbert thành tuyến, từ hệ Newton của các quả cầu cứng tới phương trình Boltzmann, là một hướng toán học được hình thành về sau, chứ không phải chính xác là ý tưởng mà Hilbert đã phát biểu vào năm 1900.
Vì vậy, khi ngày nay nhìn lại những công trình này, chúng ta không có lý do gì để phủ nhận thành tựu toán học của chúng, nhưng cũng không cần thiết phải thổi phồng ý nghĩa của chúng đến vô hạn.
Đặc biệt cần cảnh giác với một bước nhảy logic rất dễ xảy ra nhưng không chặt chẽ: Chứng minh nghiêm ngặt rằng mô hình Newton của các quả cầu cứng dẫn tới phương trình Boltzmann không có nghĩa là cơ học Newton đã xây dựng được nền tảng tiên đề cho phương trình Boltzmann.
Vế thứ nhất là một định lý toán học nói rằng một mô hình vi mô cụ thể, trong một giới hạn cụ thể, tạo ra một phương trình thống kê hiệu dụng.
Vế thứ hai lại là một phán đoán nhận thức luận về nền tảng vật lý và địa vị của các lý thuyết.
Hai điều này cách nhau không chỉ vài điều kiện kỹ thuật, mà là sự khác biệt giữa cả hai tầng lý thuyết.
Chính vì vậy, ở đây chúng ta cần dừng lại một chút để đặt một câu hỏi tưởng như đơn giản nhưng thực ra không hề đơn giản: Rốt cuộc chúng ta đã chứng minh được điều gì? Và chúng ta chưa chứng minh được điều gì?
Toán học có thể nói cho chúng ta biết rằng một mô hình, trong những điều kiện nhất định, tất yếu dẫn tới kết quả nào. Nhưng bản thân tính nghiêm ngặt của toán học không thể thay chúng ta quyết định rằng mô hình đó có phải là mô hình cơ bản của tự nhiên hay không; càng không thể thay chúng ta quyết định một lý thuyết hiệu dụng phải được trao cho nó địa vị vật lý sâu sắc đến mức nào.
Khoa học thực sự cần không chỉ là can đảm chứng minh, mà đôi khi còn cần sự tỉnh táo trước giới hạn của chính điều mình đã chứng minh. Có lẽ đây mới là điều đáng giữ lại nhất khi ngày nay chúng ta một lần nữa bàn về Bài toán thứ sáu của Hilbert, phương trình Boltzmann và những thành tựu toán học đầy ấn tượng đó.
I. Trước hết hãy đặt phương trình Boltzmann về đúng vị trí của nó
Phương trình Boltzmann ở dạng quen thuộc nhất là:
Cái gọi là “hai hạt va chạm” thực chất là ngôn ngữ mang tính vĩ mô và thống kê mà chúng ta sử dụng để mô tả một quá trình tương tác nào đó.
Tương tác vi mô thực sự có thể được mô tả bằng thế năng tương tác, có thể là những tương tác nguyên tử và phân tử rất phức tạp. Ở tầng cơ bản hơn nữa, chúng ta phải bước vào khuôn khổ của cơ học lượng tử, thậm chí lý thuyết trường lượng tử.
Mô hình quả cầu cứng chỉ là một sự lý tưởng hóa cực đoan:
Nghĩa là: khi khoảng cách giữa hai hạt nhỏ hơn đường kính d, thế tương tác được coi là vô hạn; khi lớn hơn d, thế tương tác bằng 0.
Trong mô hình đặc biệt này, các hạt tự do bay, đến thời điểm tiếp xúc thì xảy ra một va chạm đàn hồi, sau đó lại tiếp tục tự do bay. Về mặt toán học, mô hình này rất rõ ràng và thuận tiện. Nhưng về mặt vật lý, tuyệt đối không được nhầm nó với hình ảnh cơ bản về cấu trúc vi mô của tự nhiên.
II. Chỉ hai chữ “va chạm” đã che giấu rất nhiều giả định
Xuất phát từ mô hình quả cầu cứng, ta có sơ đồ: bay tự do dẫn tới va chạm tức thời rồi bay tự do.
Ở đây, nói “gia tốc bằng 0” cần được hiểu chính xác hơn. Nó có nghĩa là: khi chưa xảy ra va chạm, các hạt không tương tác với nhau nên chuyển động thẳng đều; còn tương tác được dồn vào một sự kiện xảy ra tức thời. Đây là một sự lý tưởng hóa rất thô. Trong thực tế, các hạt không chuyển động theo cách như vậy.
Tương tác có phạm vi tác dụng, và chuyển động của các hạt nói chung không tồn tại một thế giới được chia hoàn toàn thành hai trạng thái: “không có tương tác” và “xảy ra va chạm”.
Vì vậy, khi chúng ta chứng minh nghiêm ngặt rằng một hệ quả cầu cứng dẫn tới phương trình Boltzmann, điều thực sự được chứng minh là: một mô hình vi mô cổ điển cụ thể dẫn tới một phương trình thống kê nào đó, chứ không phải: vật lý vi mô cơ bản của tự nhiên dẫn tới phương trình Boltzmann. Địa vị khoa học của hai mệnh đề này hoàn toàn khác nhau.
III. “Nghiêm ngặt” về mặt toán học không thể bảo chứng cho “chân thực” về mặt vật lý
Tuyến nghiên cứu Grad–Lanford nghiên cứu một giới hạn toán học rất đẹp. Nói một cách khái quát, trong phép co giãn Boltzmann–Grad:
động lực học nhiều hạt của các quả cầu cứng, trong một khoảng thời gian thích hợp, sẽ tiến tới động lực học Boltzmann.
Đây là một bài toán toán học cực kỳ khó. Nhưng chúng ta phải đặt một câu hỏi: Sự khó khăn toán học này xuất phát từ đâu?
Một phần rất lớn của khó khăn chính là do chúng ta lựa chọn một mô hình đặc biệt và cực đoan, rồi yêu cầu mình phải kiểm soát một cách nghiêm ngặt hành vi của mô hình đó khi tiến tới một giới hạn nhất định.
Từ đó có thể xuất hiện một sự đảo ngược nhận thức luận rất dễ xảy ra: Vì bài toán toán học rất khó nên chúng ta cảm thấy vấn đề vật lý mà nó nghiên cứu chắc chắn phải cực kỳ sâu sắc.
Thực ra hoàn toàn không phải như vậy. Một vấn đề vật lý rất thô sơ vẫn có thể tạo ra một bài toán toán học cực kỳ khó. Ngược lại, một vấn đề vật lý cực kỳ sâu sắc cũng có thể tạm thời chưa có một hình thức toán học đẹp đẽ.
Có thể tóm tắt bằng một công thức ngắn: Độ nghiêm ngặt toán học ≠ tính nền tảng của vật lý.
Tính nghiêm ngặt chỉ có thể nói với chúng ta: Với những giả định này, kết luận này thực sự đúng.
Nó không thể nói: Những giả định này chính là các quy luật cơ bản của tự nhiên.
IV. Bài toán thứ sáu của Hilbert thực sự có ý nghĩa gì?
Bài toán thứ sáu của Hilbert đương nhiên là một trong những chương trình vĩ đại nhất về mối quan hệ giữa toán học và vật lý. Nhưng “xây dựng động lực học chất khí từ quan điểm nguyên tử” không đồng nghĩa với “làm cho mô hình va chạm của những quả cầu cứng trở nên nghiêm ngặt về mặt toán học”.
Thuyết nguyên tử không hề nói rằng nguyên tử là những quả cầu nhỏ. Càng không nói rằng giữa các nguyên tử chỉ tồn tại những va chạm tức thời. Vấn đề thực sự lớn lao phải là: Vật lý vi mô dẫn tới môi trường liên tục và các quy luật thống kê vĩ mô. Đây là một vấn đề về cách các tầng mô tả khác nhau của tự nhiên hình thành từ nhau như thế nào. Mô hình quả cầu cứng chỉ là một trong những mô hình vi mô đặc biệt có thể được sử dụng.
Do đó, chúng ta phải tránh một kiểu đánh tráo khái niệm thường gặp: Bài toán thứ sáu của Hilbert dần dần bị đánh tráo thành giới hạn toán học của mô hình quả cầu cứng, rồi từ giới hạn toán học của quả cầu cứng lại đánh tráo thành nền tảng vật lý của phương trình Boltzmann và cuối cùng thậm chí biến thành phương trình Boltzmann là định luật vật lý cơ bản.
Một khi đã đi tới bước cuối cùng này, khoảng cách về khái niệm đã trở nên rất xa.
V. Grad và Lanford thực sự đã chứng minh điều gì?
Phải thừa nhận rằng công trình của Grad, Lanford và những người khác rất quan trọng. Nhưng “quan trọng” không có nghĩa là điều được chứng minh có địa vị của một nguyên lý vật lý cơ bản. Điều họ thực sự đã làm là làm cho mối liên hệ giữa một mô hình vi mô cụ thể và động lực học thống kê Boltzmann trở nên nghiêm ngặt về mặt toán học.
Đó là một thành tựu toán học lớn. Nhưng nó không phải là việc phát hiện ra một loại tương tác vi mô mới, không phát hiện ra một hạt cơ bản mới, cũng không phát hiện ra một quy luật động lực học mới của tự nhiên mà trước đó con người chưa biết.
Điều được chứng minh là: Nếu chúng ta chấp nhận một mô hình nhiều hạt cổ điển nhất định, đồng thời thực hiện một giới hạn tương ứng, thì phương trình Boltzmann có thể xuất hiện một cách nghiêm ngặt từ mô hình đó.
Kết luận này có giá trị rất lớn, nhưng giá trị chủ yếu của nó nằm ở việc làm cho toán học trở nên nghiêm ngặt, giúp hiểu sâu hơn về mô hình và nền tảng của cơ học thống kê, chứ không phải ở việc phát hiện một nguyên lý vật lý cơ bản mới.
Ở đây còn tồn tại một sự nhầm lẫn khái niệm khác, dễ bị bỏ qua nhưng vô cùng quan trọng: Ngay cả khi chúng ta thừa nhận rằng từ mô hình quả cầu cứng của cơ học Newton, trong giới hạn Boltzmann–Grad, có thể thu được phương trình Boltzmann, chúng ta cũng không thể vì thế mà nói rằng cơ học Newton đã cung cấp “nền tảng tiên đề” cho phương trình Boltzmann.
Hai câu này nghe rất giống nhau, nhưng thực tế nói về hai chuyện hoàn toàn khác nhau. Kết quả kiểu Grad–Lanford thiết lập một quan hệ giới hạn về mặt toán học: Động lực học Newton của quả cầu cứng dẫn tới Phương trình Boltzmann. Nó cho thấy rằng, với một mô hình vi mô cụ thể, một cách co giãn mật độ thấp cụ thể và những giả định thống kê tương ứng, phương trình Boltzmann có thể xuất hiện như giới hạn thống kê hiệu dụng của mô hình Newton đó.
Nhưng điều này không có nghĩa rằng cấu trúc cơ bản của phương trình Boltzmann có thể trực tiếp suy ra từ các tiên đề của cơ học Newton. Càng không có nghĩa rằng cơ học Newton vì thế đã trở thành “nền tảng tiên đề” của phương trình Boltzmann.
Trên thực tế, từ động lực học Newton của NN hạt đến phương trình Boltzmann còn trải qua rất nhiều sự chuyển đổi về tầng lý thuyết: Động lực học N hạt → mô hình quả cầu cứng → giới hạn mật độ thấp → mô tả thống kê → phương trình Boltzmann.
Không một bước nào trong chuỗi này có thể được gói gọn đơn giản bằng hai chữ “cơ học Newton”.
Trước hết, cơ học Newton tự nó không hề yêu cầu các hạt vi mô phải là những quả cầu cứng. Chúng ta có thể bắt đầu từ một Hamiltonian nhiều vật thể dạng:
trong đó thế tương tác V có thể có rất nhiều dạng hoàn toàn khác nhau.
Quả cầu cứng chỉ là một lựa chọn lý tưởng hóa rất đặc biệt.
Thứ hai, f(x,v,t) trong phương trình Boltzmann không phải là biến cơ bản của cơ học Newton.
Nó là hàm phân bố một hạt, được tạo ra sau quá trình rút gọn và mô tả thống kê từ hệ nhiều hạt.
Thứ ba, hạng va chạm trong phương trình Boltzmann còn bao hàm những cấu trúc bổ sung liên quan đến va chạm hai hạt, giới hạn khí loãng và giả định hỗn loạn phân tử.
Vì vậy, cách nói chính xác hơn phải là: Cơ học Newton cung cấp nền tảng động lực học cho một mô hình vi mô cụ thể là hệ quả cầu cứng; trong những giới hạn và với những giả định thống kê nhất định, mô hình này có thể dẫn tới phương trình Boltzmann.
Chứ không thể nói: Cơ học Newton cung cấp nền tảng tiên đề cho phương trình Boltzmann.
Điều đáng nhớ nhất ở đây là: “Suy ra từ” ≠ “nền tảng tiên đề cho”.
Một phương trình có thể là phương trình hiệu dụng xuất hiện từ một lý thuyết nào đó trong một giới hạn đặc biệt, nhưng điều đó không có nghĩa nó vì thế nhận được “nền tảng tiên đề” của lý thuyết ấy.
Suy ra một lý thuyết hiệu dụng từ một lý thuyết khác là quá trình đi từ tầng vi mô lên tầng vĩ mô. Còn xây dựng nền tảng tiên đề cho một lý thuyết lại là một công việc hoàn toàn khác. Đánh đồng hai việc này thực chất là đảo ngược quan hệ giữa các tầng lý thuyết.
VI. Có lẽ vấn đề Boltzmann thực sự sâu sắc không phải là vấn đề quả cầu cứng
Nếu quy toàn bộ lý thuyết Boltzmann vào “sự va chạm giữa các hạt”, chúng ta ngược lại có thể che khuất tư tưởng vật lý vĩ đại nhất của Boltzmann. Điều thực sự gây chấn động trong tư tưởng Boltzmann là: Động lực học vi mô thuận nghịch dẫn tới hiện tượng vĩ mô không thuận nghịch.
Và: Động lực học nhiều vật thể dẫn tới hàm phân bố của một hạt.
Cùng với đó là vấn đề về sự sinh entropy được thể hiện trong định lý H.
Một thế giới vi mô vốn đối xứng dưới phép đảo chiều thời gian, tại sao lại tạo ra một chiều của thời gian ở cấp độ vĩ mô? Một động lực học về nguyên tắc có thể đảo ngược, tại sao lại xuất hiện sự gia tăng entropy? Tại sao những mối tương quan phức tạp giữa vô số hạt lại có thể, trong những điều kiện nhất định, được mô tả chỉ bằng một hàm: f(x, v, t) ?
Đây mới là những vấn đề thực sự khiến lý thuyết Boltzmann trở nên đáng kinh ngạc. Nếu cuối cùng chúng ta chỉ còn lại một câu: “Lanford đã chứng minh rằng các quả cầu cứng trong giới hạn Boltzmann–Grad tiến tới phương trình Boltzmann.”, thì trên thực tế, chúng ta có thể đã thu nhỏ vấn đề vật lý sâu sắc nhất của lý thuyết Boltzmann thành một bài toán giới hạn toán học rất đẹp.
Điều đó chưa chắc đã là một bước tiến.
VII. “Niềm vui chiến thắng” của giới toán học cần một chút tỉnh táo
Cộng đồng khoa học đương nhiên cần ăn mừng. Con người chứng minh được một định lý mà trong nhiều thập kỷ không thể chứng minh một cách nghiêm ngặt, bản thân điều đó đã là một thành tựu đáng được chúc mừng. Nhưng lịch sử khoa học hết lần này đến lần khác nhắc nhở chúng ta: Đừng vì đã chứng minh được một định lý mà quên mất tại sao ban đầu chúng ta nghiên cứu vấn đề ấy.
Một mô hình càng được chứng minh chính xác, chúng ta càng nên hỏi: Tại sao chúng ta lại tin mô hình này?
Một giới hạn càng được chứng minh đẹp đẽ, chúng ta càng nên hỏi: Tại sao tự nhiên lại phải tuân theo giới hạn này?
Một phương trình càng được suy ra nghiêm ngặt, chúng ta càng nên hỏi: Những khái niệm cơ bản trong phương trình này thực sự xuất phát từ đâu?
Nếu những câu hỏi đó chưa được trả lời, thì chiến thắng toán học không thể tự động nâng cấp thành chiến thắng vật lý.
Nếu không, chúng ta rất dễ rơi vào một ảo tưởng nguy hiểm: Tính nghiêm ngặt của mô hình tương đương với Tính chân thực của mô hình và cũng tương đương với Tính nền tảng của lý thuyết. Chuỗi suy luận này không đúng.
VIII. Điều khoa học cần nhất không phải là sự tự tin, mà là cảm giác về giới hạn
Tôi không cho rằng các nhà toán học nghiên cứu phương trình Boltzmann có gì sai. Ngược lại, những công trình này rất đáng được thực hiện. Điều thực sự cần cảnh giác là việc diễn giải quá mức.
Một nhà toán học có thể nói: “Tôi đã chứng minh rằng hệ quả cầu cứng trong một giới hạn nhất định sẽ tiến tới phương trình Boltzmann.” Đó là một phát biểu nghiêm ngặt.
Một nhà vật lý có thể nói: “Kết quả này giúp chúng ta hiểu tại sao phương trình Boltzmann xuất hiện trong một số mô hình khí loãng.” Điều này cũng hoàn toàn hợp lý.
Nhưng nếu tiến thêm một bước và nói: “Vì vậy, địa vị vật lý cơ bản của phương trình Boltzmann đã được chứng minh.”, thì đó là lúc chúng ta đã vượt qua một ranh giới không nên vượt qua.
Khoa học cần chính là sự chừng mực như vậy. Tôn trọng thành tựu của toán học. Kinh sợ sự phức tạp của vật lý. Và biết kiềm chế trước chính những kết luận của mình.
Tinh thần khoa học trưởng thành thực sự không phải là gặp ai cũng nói: “Cuối cùng chúng ta đã chứng minh được!”, mà là phải biết: Chúng ta thực sự đã chứng minh điều gì? Chúng ta chưa chứng minh điều gì? Và chúng ta vẫn chưa biết điều gì?
IX. Có lẽ chúng ta nên hiểu lại chữ “chiến thắng”
Vì vậy, thay vì nói rằng công trình Grad–Lanford “đã giải quyết vấn đề vật lý cơ bản của phương trình Boltzmann”, có lẽ chính xác hơn nên nói: Họ đã đẩy mối quan hệ toán học giữa một mô hình cụ thể và một phương trình thống kê quan trọng lên một mức độ nghiêm ngặt cực kỳ cao.
Chỉ như vậy thôi đã đủ vĩ đại. Không cần phải giao cho nó thêm một sứ mệnh mà bản thân nó vốn không đảm nhận. Sự vĩ đại của toán học không cần phải dựa vào những “nguyên lý cơ bản” của vật lý để chứng minh rằng nó vĩ đại. Tương tự, chiều sâu của vật lý cũng không cần một lễ ăn mừng của giới toán học để chứng minh rằng nó sâu sắc.
Điều chúng ta thực sự nên ăn mừng là: Khả năng của con người trong việc nhận thức tự nhiên.
Còn điều thực sự phải cảnh giác là: Đừng biến một thắng lợi cục bộ trong quá trình nhận thức thành ảo tưởng rằng chúng ta đã nhận thức được toàn bộ tự nhiên.
Khoa học phát triển đến ngày hôm nay, thứ khan hiếm nhất có lẽ không chỉ là trí thông minh, mà còn là: sự bình tĩnh, khiêm tốn, khách quan và lòng tôn trọng đối với chính khoa học.
Bởi vì trước tự nhiên, điều thực sự đáng khâm phục chưa bao giờ là chúng ta có thể chứng minh được bao nhiêu định lý, mà là: Tự nhiên rốt cuộc sâu sắc hơn những mô hình của chúng ta đến mức nào.
Ví dụ các bài 1, 2, 5, 6, 9, 11, 12, 15, 21, 22 thuộc nhóm “đã giải một phần hoặc còn tranh luận về cách hiểu”. Bài 8 (trong đó có Giả thuyết Riemann) vẫn chưa giải được; bài 13 và 16 vẫn còn mở; bài 4 và 23 được xem là quá mơ hồ để nói đơn giản là “đã giải” hay “chưa giải”
Điều đặc biệt thú vị là Bài toán thứ sáu của Hilbert, bài toán mà tôi muốn nói đến dưới đây, cho đến nay vẫn chưa thể coi là đã được giải hoàn toàn. Mặc dù trong hơn một thế kỷ qua, các nhà toán học đã đạt được những thành tựu rất lớn, đặc biệt trong việc xây dựng các mối liên hệ nghiêm ngặt giữa động lực học vi mô, phương trình Boltzmann và các phương trình chất lưu, nhưng câu chuyện vẫn phức tạp hơn nhiều so với cách nói đơn giản rằng “bài toán đã được giải”.
Và chính ở đây, tôi nghĩ chúng ta cần đặt một câu hỏi thú vị hơn: Rốt cuộc, một định lý toán học được chứng minh nghiêm ngặt có đồng nghĩa với việc chúng ta đã tìm thấy nền tảng vật lý cơ bản của tự nhiên hay chưa, từ đó có thể thấu hiểu tự nhiên hay chưa ?
Ngày 26 tháng 8 năm 2026, một thảm họa tự nhiên kinh hoàng và bất ngờ đã xảy ra khu vực miền núi biên giới giữa Trung Quốc và Nepal làm khoảng một nghìn người thiệt mạng, hơn một nghìn người mất tích và hàng nghìn người bị thương; thiệt hại vật chất và tinh thần rất khủng khiếp.
Sự kiện này làm tôi nhớ tới những giới hạn của con người trong việc nhận thức tự nhiên trong một bài tôi mới đọc gần đây. Chúng ta thường hay nói "trước thiên nhiên, con người thật nhỏ bé". Bạn cứ leo lên những đỉnh núi cao vài nghìn mét, đi nửa ngày trong rừng hay bơi ra giữa biển khơi, thì sẽ biết con người là cái gì trong tự nhiên.
Đoạn cuối của bài có kết luận rất hay: Điều thực sự phải cảnh giác là con người đừng biến một thắng lợi cục bộ trong quá trình nhận thức thành ảo tưởng rằng chúng ta đã nhận thức được toàn bộ tự nhiên.
Thêm nữa, khoa học phát triển đến ngày hôm nay, thứ khan hiếm nhất có lẽ không chỉ là trí thông minh, mà còn là: sự bình tĩnh, khiêm tốn, khách quan và lòng tôn trọng đối với chính khoa học; bởi vì trước tự nhiên, điều thực sự đáng khâm phục chưa bao giờ là chúng ta có thể chứng minh được bao nhiêu định lý, mà là: Tự nhiên rốt cuộc sâu sắc hơn những mô hình của chúng ta đến mức nào.
Tôi lục tìm bài đó và đăng lại dưới đây. Lưu ý: Bài này không phủ nhận giá trị toán học của chương trình Grad–Lanford, mà chủ yếu phản biện việc đánh đồng “chứng minh được quan hệ toán học giữa một mô hình và phương trình Boltzmann” với “đã chứng minh được nền tảng vật lý cơ bản của phương trình Boltzmann”. Đây là trục tư tưởng quan trọng nhất của bài.
Năm 1900, tại Đại hội Quốc tế các nhà Toán học tổ chức ở Paris, David Hilbert đã đưa ra “23 bài toán” nổi tiếng. Bài toán thứ sáu có tiêu đề là “Đối xử một cách toán học với các tiên đề của vật lý học”.
Đây không phải là một bài toán toán học cụ thể liên quan đến một phương trình hay một mô hình nào đó, mà là một chương trình khoa học có quy mô rất lớn.
Nếu toán học có thể xây dựng hình học trên một hệ tiên đề rõ ràng, thì đối với những lý thuyết vật lý sử dụng toán học làm ngôn ngữ, liệu chúng ta có thể tiếp tục đặt câu hỏi về những khái niệm cơ bản, những giả định cơ bản, cũng như mối quan hệ giới hạn giữa các lý thuyết vật lý, rồi biểu đạt những mối quan hệ đó bằng một ngôn ngữ toán học nghiêm ngặt hay không?
Trong bài toán này, Hilbert đặc biệt đề cập đến lý thuyết xác suất và cơ học, đồng thời từ công trình của Boltzmann, ông liên tưởng tới một hướng nghiên cứu rất quan trọng: Làm thế nào dùng các phương pháp toán học nghiêm ngặt để xử lý quá trình chuyển từ quan điểm nguyên tử đến các định luật chuyển động của môi trường liên tục?
Câu hỏi này về sau đã tạo ra ảnh hưởng sâu rộng. Ngày nay, giới toán học thường cụ thể hóa nó thành một tuyến nghiên cứu như sau: Từ Cơ học Newton của các hạt đến Phương trình Boltzmann rồi tới Các phương trình chất lưu.
Theo cách nhìn này, phương trình Boltzmann trở thành một tầng trung gian quan trọng. Việc lấy khí gồm các quả cầu cứng làm mô hình, rồi nghiên cứu xem từ động lực học Newton trong giới hạn Boltzmann–Grad có thể suy ra phương trình Boltzmann hay không, đã trở thành một trong những con đường toán học để nghiên cứu vấn đề này.
Các công trình của Grad, kết quả nổi tiếng của Lanford trong thời gian ngắn, cùng với hàng chục năm nghiên cứu sau đó, đã khiến hướng nghiên cứu này dần trở thành một lĩnh vực rất lớn của toán vật lý hiện đại.
Những công trình này đương nhiên có giá trị toán học đặc biệt. Chúng đưa rất nhiều bước lập luận vốn trước đây được vật lý học sử dụng dựa trên trực giác, các phép tính hình thức và những lập luận về giới hạn vào trong một khuôn khổ toán học chặt chẽ.
Những khó khăn kỹ thuật trong đó cũng hoàn toàn không thể xem nhẹ. Tuy nhiên, độ khó của một bài toán toán học và chiều sâu của một vấn đề vật lý không phải là cùng một chuyện. Một vấn đề toán học có thể khó bởi vì chúng ta lựa chọn một cách mô tả toán học rất đặc biệt. Nhưng bản thân sự khó khăn ấy không tự động chứng minh cách mô tả đó chính là cách mô tả cơ bản và chân thực nhất của tự nhiên.
Ở đây đặc biệt cần giữ được một mức độ tỉnh táo nhất định về cả lịch sử lẫn khoa học. Vấn đề ban đầu của Hilbert là nghiên cứu toán học về “quá trình từ quan điểm nguyên tử đến các định luật chuyển động của môi trường liên tục”, chứ không phải yêu cầu các nhà toán học chứng minh rằng “sự va chạm giữa những quả cầu thép cứng là vật lý vi mô của tự nhiên”.
Việc cụ thể hóa chương trình lớn của Hilbert thành tuyến, từ hệ Newton của các quả cầu cứng tới phương trình Boltzmann, là một hướng toán học được hình thành về sau, chứ không phải chính xác là ý tưởng mà Hilbert đã phát biểu vào năm 1900.
Vì vậy, khi ngày nay nhìn lại những công trình này, chúng ta không có lý do gì để phủ nhận thành tựu toán học của chúng, nhưng cũng không cần thiết phải thổi phồng ý nghĩa của chúng đến vô hạn.
Đặc biệt cần cảnh giác với một bước nhảy logic rất dễ xảy ra nhưng không chặt chẽ: Chứng minh nghiêm ngặt rằng mô hình Newton của các quả cầu cứng dẫn tới phương trình Boltzmann không có nghĩa là cơ học Newton đã xây dựng được nền tảng tiên đề cho phương trình Boltzmann.
Vế thứ nhất là một định lý toán học nói rằng một mô hình vi mô cụ thể, trong một giới hạn cụ thể, tạo ra một phương trình thống kê hiệu dụng.
Vế thứ hai lại là một phán đoán nhận thức luận về nền tảng vật lý và địa vị của các lý thuyết.
Hai điều này cách nhau không chỉ vài điều kiện kỹ thuật, mà là sự khác biệt giữa cả hai tầng lý thuyết.
Chính vì vậy, ở đây chúng ta cần dừng lại một chút để đặt một câu hỏi tưởng như đơn giản nhưng thực ra không hề đơn giản: Rốt cuộc chúng ta đã chứng minh được điều gì? Và chúng ta chưa chứng minh được điều gì?
Toán học có thể nói cho chúng ta biết rằng một mô hình, trong những điều kiện nhất định, tất yếu dẫn tới kết quả nào. Nhưng bản thân tính nghiêm ngặt của toán học không thể thay chúng ta quyết định rằng mô hình đó có phải là mô hình cơ bản của tự nhiên hay không; càng không thể thay chúng ta quyết định một lý thuyết hiệu dụng phải được trao cho nó địa vị vật lý sâu sắc đến mức nào.
Khoa học thực sự cần không chỉ là can đảm chứng minh, mà đôi khi còn cần sự tỉnh táo trước giới hạn của chính điều mình đã chứng minh. Có lẽ đây mới là điều đáng giữ lại nhất khi ngày nay chúng ta một lần nữa bàn về Bài toán thứ sáu của Hilbert, phương trình Boltzmann và những thành tựu toán học đầy ấn tượng đó.
I. Trước hết hãy đặt phương trình Boltzmann về đúng vị trí của nó
Phương trình Boltzmann ở dạng quen thuộc nhất là:
Trước hết, đây là một phương trình của động lực học thống kê. Vế bên trái mô tả quá trình vận chuyển trong không gian pha. Vế bên phải là cái gọi là “hạng va chạm”. Nếu không có va chạm, các hạt chỉ chuyển động theo quỹ đạo của cơ học cổ điển, còn hàm phân bố sẽ tiến hóa cùng với dòng chuyển động trong không gian pha.
Điều thực sự đặc biệt nằm ở Q(f,f), tức hạng va chạm; nó chính là phần mô tả sự thay đổi của phân bố hạt do các hạt va chạm với nhau. Vì thế người ta gọi nó là “hạng va chạm” (collision term). Tuy nhiên, ngay khi nói đến chữ “va chạm”, chúng ta phải lập tức cảnh giác. Các hạt vi mô trong thế giới vật lý không phải là một đám những quả bóng thép nhỏ.Cái gọi là “hai hạt va chạm” thực chất là ngôn ngữ mang tính vĩ mô và thống kê mà chúng ta sử dụng để mô tả một quá trình tương tác nào đó.
Tương tác vi mô thực sự có thể được mô tả bằng thế năng tương tác, có thể là những tương tác nguyên tử và phân tử rất phức tạp. Ở tầng cơ bản hơn nữa, chúng ta phải bước vào khuôn khổ của cơ học lượng tử, thậm chí lý thuyết trường lượng tử.
Mô hình quả cầu cứng chỉ là một sự lý tưởng hóa cực đoan:
và
Nghĩa là: khi khoảng cách giữa hai hạt nhỏ hơn đường kính d, thế tương tác được coi là vô hạn; khi lớn hơn d, thế tương tác bằng 0.
Trong mô hình đặc biệt này, các hạt tự do bay, đến thời điểm tiếp xúc thì xảy ra một va chạm đàn hồi, sau đó lại tiếp tục tự do bay. Về mặt toán học, mô hình này rất rõ ràng và thuận tiện. Nhưng về mặt vật lý, tuyệt đối không được nhầm nó với hình ảnh cơ bản về cấu trúc vi mô của tự nhiên.
II. Chỉ hai chữ “va chạm” đã che giấu rất nhiều giả định
Xuất phát từ mô hình quả cầu cứng, ta có sơ đồ: bay tự do dẫn tới va chạm tức thời rồi bay tự do.
Ở đây, nói “gia tốc bằng 0” cần được hiểu chính xác hơn. Nó có nghĩa là: khi chưa xảy ra va chạm, các hạt không tương tác với nhau nên chuyển động thẳng đều; còn tương tác được dồn vào một sự kiện xảy ra tức thời. Đây là một sự lý tưởng hóa rất thô. Trong thực tế, các hạt không chuyển động theo cách như vậy.
Tương tác có phạm vi tác dụng, và chuyển động của các hạt nói chung không tồn tại một thế giới được chia hoàn toàn thành hai trạng thái: “không có tương tác” và “xảy ra va chạm”.
Vì vậy, khi chúng ta chứng minh nghiêm ngặt rằng một hệ quả cầu cứng dẫn tới phương trình Boltzmann, điều thực sự được chứng minh là: một mô hình vi mô cổ điển cụ thể dẫn tới một phương trình thống kê nào đó, chứ không phải: vật lý vi mô cơ bản của tự nhiên dẫn tới phương trình Boltzmann. Địa vị khoa học của hai mệnh đề này hoàn toàn khác nhau.
III. “Nghiêm ngặt” về mặt toán học không thể bảo chứng cho “chân thực” về mặt vật lý
Tuyến nghiên cứu Grad–Lanford nghiên cứu một giới hạn toán học rất đẹp. Nói một cách khái quát, trong phép co giãn Boltzmann–Grad:
N→∞, ε→0, Nεd−1∼1,
động lực học nhiều hạt của các quả cầu cứng, trong một khoảng thời gian thích hợp, sẽ tiến tới động lực học Boltzmann.
Đây là một bài toán toán học cực kỳ khó. Nhưng chúng ta phải đặt một câu hỏi: Sự khó khăn toán học này xuất phát từ đâu?
Một phần rất lớn của khó khăn chính là do chúng ta lựa chọn một mô hình đặc biệt và cực đoan, rồi yêu cầu mình phải kiểm soát một cách nghiêm ngặt hành vi của mô hình đó khi tiến tới một giới hạn nhất định.
Từ đó có thể xuất hiện một sự đảo ngược nhận thức luận rất dễ xảy ra: Vì bài toán toán học rất khó nên chúng ta cảm thấy vấn đề vật lý mà nó nghiên cứu chắc chắn phải cực kỳ sâu sắc.
Thực ra hoàn toàn không phải như vậy. Một vấn đề vật lý rất thô sơ vẫn có thể tạo ra một bài toán toán học cực kỳ khó. Ngược lại, một vấn đề vật lý cực kỳ sâu sắc cũng có thể tạm thời chưa có một hình thức toán học đẹp đẽ.
Có thể tóm tắt bằng một công thức ngắn: Độ nghiêm ngặt toán học ≠ tính nền tảng của vật lý.
Tính nghiêm ngặt chỉ có thể nói với chúng ta: Với những giả định này, kết luận này thực sự đúng.
Nó không thể nói: Những giả định này chính là các quy luật cơ bản của tự nhiên.
IV. Bài toán thứ sáu của Hilbert thực sự có ý nghĩa gì?
Bài toán thứ sáu của Hilbert đương nhiên là một trong những chương trình vĩ đại nhất về mối quan hệ giữa toán học và vật lý. Nhưng “xây dựng động lực học chất khí từ quan điểm nguyên tử” không đồng nghĩa với “làm cho mô hình va chạm của những quả cầu cứng trở nên nghiêm ngặt về mặt toán học”.
Thuyết nguyên tử không hề nói rằng nguyên tử là những quả cầu nhỏ. Càng không nói rằng giữa các nguyên tử chỉ tồn tại những va chạm tức thời. Vấn đề thực sự lớn lao phải là: Vật lý vi mô dẫn tới môi trường liên tục và các quy luật thống kê vĩ mô. Đây là một vấn đề về cách các tầng mô tả khác nhau của tự nhiên hình thành từ nhau như thế nào. Mô hình quả cầu cứng chỉ là một trong những mô hình vi mô đặc biệt có thể được sử dụng.
Do đó, chúng ta phải tránh một kiểu đánh tráo khái niệm thường gặp: Bài toán thứ sáu của Hilbert dần dần bị đánh tráo thành giới hạn toán học của mô hình quả cầu cứng, rồi từ giới hạn toán học của quả cầu cứng lại đánh tráo thành nền tảng vật lý của phương trình Boltzmann và cuối cùng thậm chí biến thành phương trình Boltzmann là định luật vật lý cơ bản.
Một khi đã đi tới bước cuối cùng này, khoảng cách về khái niệm đã trở nên rất xa.
V. Grad và Lanford thực sự đã chứng minh điều gì?
Phải thừa nhận rằng công trình của Grad, Lanford và những người khác rất quan trọng. Nhưng “quan trọng” không có nghĩa là điều được chứng minh có địa vị của một nguyên lý vật lý cơ bản. Điều họ thực sự đã làm là làm cho mối liên hệ giữa một mô hình vi mô cụ thể và động lực học thống kê Boltzmann trở nên nghiêm ngặt về mặt toán học.
Đó là một thành tựu toán học lớn. Nhưng nó không phải là việc phát hiện ra một loại tương tác vi mô mới, không phát hiện ra một hạt cơ bản mới, cũng không phát hiện ra một quy luật động lực học mới của tự nhiên mà trước đó con người chưa biết.
Điều được chứng minh là: Nếu chúng ta chấp nhận một mô hình nhiều hạt cổ điển nhất định, đồng thời thực hiện một giới hạn tương ứng, thì phương trình Boltzmann có thể xuất hiện một cách nghiêm ngặt từ mô hình đó.
Kết luận này có giá trị rất lớn, nhưng giá trị chủ yếu của nó nằm ở việc làm cho toán học trở nên nghiêm ngặt, giúp hiểu sâu hơn về mô hình và nền tảng của cơ học thống kê, chứ không phải ở việc phát hiện một nguyên lý vật lý cơ bản mới.
Ở đây còn tồn tại một sự nhầm lẫn khái niệm khác, dễ bị bỏ qua nhưng vô cùng quan trọng: Ngay cả khi chúng ta thừa nhận rằng từ mô hình quả cầu cứng của cơ học Newton, trong giới hạn Boltzmann–Grad, có thể thu được phương trình Boltzmann, chúng ta cũng không thể vì thế mà nói rằng cơ học Newton đã cung cấp “nền tảng tiên đề” cho phương trình Boltzmann.
Hai câu này nghe rất giống nhau, nhưng thực tế nói về hai chuyện hoàn toàn khác nhau. Kết quả kiểu Grad–Lanford thiết lập một quan hệ giới hạn về mặt toán học: Động lực học Newton của quả cầu cứng dẫn tới Phương trình Boltzmann. Nó cho thấy rằng, với một mô hình vi mô cụ thể, một cách co giãn mật độ thấp cụ thể và những giả định thống kê tương ứng, phương trình Boltzmann có thể xuất hiện như giới hạn thống kê hiệu dụng của mô hình Newton đó.
Nhưng điều này không có nghĩa rằng cấu trúc cơ bản của phương trình Boltzmann có thể trực tiếp suy ra từ các tiên đề của cơ học Newton. Càng không có nghĩa rằng cơ học Newton vì thế đã trở thành “nền tảng tiên đề” của phương trình Boltzmann.
Trên thực tế, từ động lực học Newton của NN hạt đến phương trình Boltzmann còn trải qua rất nhiều sự chuyển đổi về tầng lý thuyết: Động lực học N hạt → mô hình quả cầu cứng → giới hạn mật độ thấp → mô tả thống kê → phương trình Boltzmann.
Không một bước nào trong chuỗi này có thể được gói gọn đơn giản bằng hai chữ “cơ học Newton”.
Trước hết, cơ học Newton tự nó không hề yêu cầu các hạt vi mô phải là những quả cầu cứng. Chúng ta có thể bắt đầu từ một Hamiltonian nhiều vật thể dạng:
Hn = ∑pi2/2m + ∑V(xi−xj) với i<j
trong đó thế tương tác V có thể có rất nhiều dạng hoàn toàn khác nhau.
Quả cầu cứng chỉ là một lựa chọn lý tưởng hóa rất đặc biệt.
Thứ hai, f(x,v,t) trong phương trình Boltzmann không phải là biến cơ bản của cơ học Newton.
Nó là hàm phân bố một hạt, được tạo ra sau quá trình rút gọn và mô tả thống kê từ hệ nhiều hạt.
Thứ ba, hạng va chạm trong phương trình Boltzmann còn bao hàm những cấu trúc bổ sung liên quan đến va chạm hai hạt, giới hạn khí loãng và giả định hỗn loạn phân tử.
Vì vậy, cách nói chính xác hơn phải là: Cơ học Newton cung cấp nền tảng động lực học cho một mô hình vi mô cụ thể là hệ quả cầu cứng; trong những giới hạn và với những giả định thống kê nhất định, mô hình này có thể dẫn tới phương trình Boltzmann.
Chứ không thể nói: Cơ học Newton cung cấp nền tảng tiên đề cho phương trình Boltzmann.
Điều đáng nhớ nhất ở đây là: “Suy ra từ” ≠ “nền tảng tiên đề cho”.
Một phương trình có thể là phương trình hiệu dụng xuất hiện từ một lý thuyết nào đó trong một giới hạn đặc biệt, nhưng điều đó không có nghĩa nó vì thế nhận được “nền tảng tiên đề” của lý thuyết ấy.
Suy ra một lý thuyết hiệu dụng từ một lý thuyết khác là quá trình đi từ tầng vi mô lên tầng vĩ mô. Còn xây dựng nền tảng tiên đề cho một lý thuyết lại là một công việc hoàn toàn khác. Đánh đồng hai việc này thực chất là đảo ngược quan hệ giữa các tầng lý thuyết.
VI. Có lẽ vấn đề Boltzmann thực sự sâu sắc không phải là vấn đề quả cầu cứng
Nếu quy toàn bộ lý thuyết Boltzmann vào “sự va chạm giữa các hạt”, chúng ta ngược lại có thể che khuất tư tưởng vật lý vĩ đại nhất của Boltzmann. Điều thực sự gây chấn động trong tư tưởng Boltzmann là: Động lực học vi mô thuận nghịch dẫn tới hiện tượng vĩ mô không thuận nghịch.
Và: Động lực học nhiều vật thể dẫn tới hàm phân bố của một hạt.
Cùng với đó là vấn đề về sự sinh entropy được thể hiện trong định lý H.
Một thế giới vi mô vốn đối xứng dưới phép đảo chiều thời gian, tại sao lại tạo ra một chiều của thời gian ở cấp độ vĩ mô? Một động lực học về nguyên tắc có thể đảo ngược, tại sao lại xuất hiện sự gia tăng entropy? Tại sao những mối tương quan phức tạp giữa vô số hạt lại có thể, trong những điều kiện nhất định, được mô tả chỉ bằng một hàm: f(x, v, t) ?
Đây mới là những vấn đề thực sự khiến lý thuyết Boltzmann trở nên đáng kinh ngạc. Nếu cuối cùng chúng ta chỉ còn lại một câu: “Lanford đã chứng minh rằng các quả cầu cứng trong giới hạn Boltzmann–Grad tiến tới phương trình Boltzmann.”, thì trên thực tế, chúng ta có thể đã thu nhỏ vấn đề vật lý sâu sắc nhất của lý thuyết Boltzmann thành một bài toán giới hạn toán học rất đẹp.
Điều đó chưa chắc đã là một bước tiến.
VII. “Niềm vui chiến thắng” của giới toán học cần một chút tỉnh táo
Cộng đồng khoa học đương nhiên cần ăn mừng. Con người chứng minh được một định lý mà trong nhiều thập kỷ không thể chứng minh một cách nghiêm ngặt, bản thân điều đó đã là một thành tựu đáng được chúc mừng. Nhưng lịch sử khoa học hết lần này đến lần khác nhắc nhở chúng ta: Đừng vì đã chứng minh được một định lý mà quên mất tại sao ban đầu chúng ta nghiên cứu vấn đề ấy.
Một mô hình càng được chứng minh chính xác, chúng ta càng nên hỏi: Tại sao chúng ta lại tin mô hình này?
Một giới hạn càng được chứng minh đẹp đẽ, chúng ta càng nên hỏi: Tại sao tự nhiên lại phải tuân theo giới hạn này?
Một phương trình càng được suy ra nghiêm ngặt, chúng ta càng nên hỏi: Những khái niệm cơ bản trong phương trình này thực sự xuất phát từ đâu?
Nếu những câu hỏi đó chưa được trả lời, thì chiến thắng toán học không thể tự động nâng cấp thành chiến thắng vật lý.
Nếu không, chúng ta rất dễ rơi vào một ảo tưởng nguy hiểm: Tính nghiêm ngặt của mô hình tương đương với Tính chân thực của mô hình và cũng tương đương với Tính nền tảng của lý thuyết. Chuỗi suy luận này không đúng.
VIII. Điều khoa học cần nhất không phải là sự tự tin, mà là cảm giác về giới hạn
Tôi không cho rằng các nhà toán học nghiên cứu phương trình Boltzmann có gì sai. Ngược lại, những công trình này rất đáng được thực hiện. Điều thực sự cần cảnh giác là việc diễn giải quá mức.
Một nhà toán học có thể nói: “Tôi đã chứng minh rằng hệ quả cầu cứng trong một giới hạn nhất định sẽ tiến tới phương trình Boltzmann.” Đó là một phát biểu nghiêm ngặt.
Một nhà vật lý có thể nói: “Kết quả này giúp chúng ta hiểu tại sao phương trình Boltzmann xuất hiện trong một số mô hình khí loãng.” Điều này cũng hoàn toàn hợp lý.
Nhưng nếu tiến thêm một bước và nói: “Vì vậy, địa vị vật lý cơ bản của phương trình Boltzmann đã được chứng minh.”, thì đó là lúc chúng ta đã vượt qua một ranh giới không nên vượt qua.
Khoa học cần chính là sự chừng mực như vậy. Tôn trọng thành tựu của toán học. Kinh sợ sự phức tạp của vật lý. Và biết kiềm chế trước chính những kết luận của mình.
Tinh thần khoa học trưởng thành thực sự không phải là gặp ai cũng nói: “Cuối cùng chúng ta đã chứng minh được!”, mà là phải biết: Chúng ta thực sự đã chứng minh điều gì? Chúng ta chưa chứng minh điều gì? Và chúng ta vẫn chưa biết điều gì?
IX. Có lẽ chúng ta nên hiểu lại chữ “chiến thắng”
Vì vậy, thay vì nói rằng công trình Grad–Lanford “đã giải quyết vấn đề vật lý cơ bản của phương trình Boltzmann”, có lẽ chính xác hơn nên nói: Họ đã đẩy mối quan hệ toán học giữa một mô hình cụ thể và một phương trình thống kê quan trọng lên một mức độ nghiêm ngặt cực kỳ cao.
Chỉ như vậy thôi đã đủ vĩ đại. Không cần phải giao cho nó thêm một sứ mệnh mà bản thân nó vốn không đảm nhận. Sự vĩ đại của toán học không cần phải dựa vào những “nguyên lý cơ bản” của vật lý để chứng minh rằng nó vĩ đại. Tương tự, chiều sâu của vật lý cũng không cần một lễ ăn mừng của giới toán học để chứng minh rằng nó sâu sắc.
Điều chúng ta thực sự nên ăn mừng là: Khả năng của con người trong việc nhận thức tự nhiên.
Còn điều thực sự phải cảnh giác là: Đừng biến một thắng lợi cục bộ trong quá trình nhận thức thành ảo tưởng rằng chúng ta đã nhận thức được toàn bộ tự nhiên.
Khoa học phát triển đến ngày hôm nay, thứ khan hiếm nhất có lẽ không chỉ là trí thông minh, mà còn là: sự bình tĩnh, khiêm tốn, khách quan và lòng tôn trọng đối với chính khoa học.
Bởi vì trước tự nhiên, điều thực sự đáng khâm phục chưa bao giờ là chúng ta có thể chứng minh được bao nhiêu định lý, mà là: Tự nhiên rốt cuộc sâu sắc hơn những mô hình của chúng ta đến mức nào.
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét