David Hilbert và 23 bài toán của thế kỉ XX
If I were to awaken after having slept for a thousand years, my first question would be: Has the Riemann hypothesis been proven? – David HilbertTạm dịch là: Nếu tôi sống lại sau một nghìn năm nữa, câu hỏi đầu tiên của tôi sẽ là: Giả thuyết Riemann đã được giải quyết chưa? – David Hilbert
Nhưng đặc biệt là ông đã trình bày tại Hội nghị Toán học ở Paris (1900) 23 bài toán nổi tiếng, mà theo ông là những hướng nghiên cứu Toán học lý thú cho các nhà Toán học thế giới ở thế kỷ XX. Hơn 100 năm trôi qua đã minh chứng cho ý kiến của Hilbert là đúng và một số những bài toán còn lại chưa có người giải được vẫn còn là nguồn “cảm hứng” cho các nhà Toán học thế kỷ XXI!
Nhưng Hilbert mở đầu cho sự nghiệp Toán học của đời mình bằng “Lý thuyết các bất biến” và đó cũng là nội dung Luận án của ông.
Trước Hilbert, các nhà Toán học Cayley và Gordan cũng đã nhận xét rằng: trong mọi trường hợp, các bất biến là những đa thức của một số hữu hạn của chúng. Hilbert tìm cách hình thức hoá kết quả này và đưa đến một bài toán về sự hữu hạn (problème de finitude) trong các vành đa thức.
Hilbert chứng tỏ rằng người ta có thể tìm được một số p các bất biến sao cho mọi bất biến là một đa thức của các bất biến nói trên. Tập các đa thức thích hợp tạo thành một idéal của vành các đa thức có p bất định. Vấn đề còn lại là chứng tỏ rằng mọi idéal của một vành đa thức trên một trường là có dạng hữu hạn. Lý thuyết các bất biến không còn nữa và trở nên một trường hợp riêng của việc khảo sát các vành đa thức.
Có lần, Hilbert chứng minh lại những kết quả mà Gordan đã làm nhưng đơn giản và hay hơn đến nỗi Gordan phải thốt lên: “Đây không còn là Toán học nữa mà là ‘Thần học’”, có lần Gordan khoái chí: “Tôi hoàn toàn bị chinh phục rằng ‘Thần học’ đôi lúc cũng có lợi đấy chứ”, và vì vốn khâm phục Hilbert từ trước nên Gordan tiếp tục những công việc của Hilbert.
Hilbert quay về Lý thuyết số. Năm 1893, ông đã đưa ra một chứng minh đơn giản rằng cơ số e của logarithe Neper và π(pi) là 2 số siêu việt (số siêu việt là số mà nó không thể là nghiệm của bất kỳ phương trình đại số nào) dù rằng trước đó nhà Toán học người Pháp Charles Hermite (1822-1901) đã chứng minh e là số siêu việt và Ferdinand Lindemann(1852-1939) người Đức đã chứng minh được đối với π (và từ kết quả này Lindemann chứng minh việc cầu phương một hình tròn là không làm được bằng thước và compas). Sau đó, Hilbert cũng chứng minh được conjecture (phỏng đoán) của Waring. Người ta còn biết ơn Hilbert về các conjectures (bài toán 7 và 9 trong 23 bài toán của Hilbert đề xướng) đã mở đường cho Takagi, Artin, và Chevalley.
Hilbert còn tổng quát hoá bài toán của Dirichlet (bài toán 20). Phương pháp mà ông dùng năm 1900 đã mở đường cho một cách tiếp cận mới loại bài toán mới này, và chính Courant là một trong những ngươi biết tận dụng. Năm 1901 Hilbert quay về Lý thuyết Phương trình tích phân và quan tâm nghiên cứu đến bài toán mà Poincaré đã đặt ra (bài toán 20). Ngay ở đó người ta cũng thấy manh nha nhiều phương pháp mới.
Hilbert quay về Lý thuyết số. Năm 1893, ông đã đưa ra một chứng minh đơn giản rằng cơ số e của logarithe Neper và π(pi) là 2 số siêu việt (số siêu việt là số mà nó không thể là nghiệm của bất kỳ phương trình đại số nào) dù rằng trước đó nhà Toán học người Pháp Charles Hermite (1822-1901) đã chứng minh e là số siêu việt và Ferdinand Lindemann(1852-1939) người Đức đã chứng minh được đối với π (và từ kết quả này Lindemann chứng minh việc cầu phương một hình tròn là không làm được bằng thước và compas). Sau đó, Hilbert cũng chứng minh được conjecture (phỏng đoán) của Waring. Người ta còn biết ơn Hilbert về các conjectures (bài toán 7 và 9 trong 23 bài toán của Hilbert đề xướng) đã mở đường cho Takagi, Artin, và Chevalley.
Hilbert còn tổng quát hoá bài toán của Dirichlet (bài toán 20). Phương pháp mà ông dùng năm 1900 đã mở đường cho một cách tiếp cận mới loại bài toán mới này, và chính Courant là một trong những ngươi biết tận dụng. Năm 1901 Hilbert quay về Lý thuyết Phương trình tích phân và quan tâm nghiên cứu đến bài toán mà Poincaré đã đặt ra (bài toán 20). Ngay ở đó người ta cũng thấy manh nha nhiều phương pháp mới.
Hilbert còn chứng minh lại những kết quả của Fredholm nhờ sự trực giao hoá các hệ phương trình. Ông đã tìm cách hình thức hoá cách tiến hành và nhờ Hình học phi Euclide gợi ý, ông đã đưa ra “những dạng toàn phương” có vô số số hạng. Điều này cần cho sự hội tụ của các bình phương của các thành phần. Ông còn có sáng kiến đưa ra khái niệm về sự “đầy đủ hoá” (complétude) và để ý đến phổ các toán tử. Chính vì thế mà Schmidt và Von Neuman lấy lại ý kiến của ông để lập nên Lý thuyết về các không gian Hilbert.
Trong khi thiết lập các cơ sở Toán học, Hilbert được xem như người đứng đầu phái những nhà Toán học có tư tưởng hình thức nghĩa là những nhà Toán học xây dựng Lý thuyết trên cơ sở Tiên đề, áp dụng vào các đối tượng và ý nghĩa được xem là thứ yếu (Peano được xem là đồng minh tích cực của ông trong lĩnh vực này).
Trong khi thiết lập các cơ sở Toán học, Hilbert được xem như người đứng đầu phái những nhà Toán học có tư tưởng hình thức nghĩa là những nhà Toán học xây dựng Lý thuyết trên cơ sở Tiên đề, áp dụng vào các đối tượng và ý nghĩa được xem là thứ yếu (Peano được xem là đồng minh tích cực của ông trong lĩnh vực này).
Chính vì vậy mà Hilbert đã lập ra Hình học bằng một hệ Tiên đề. Ông đã bổ sung cho Hình học Euclide những Tiên đề ẩn tàng (implicite). Để chứng minh cho sự cách biệt giữa thực tế vật lý của thế giới và sự Tiên đề hóa này, ông đưa ra ý nghĩ độc đáo rằng theo cách suy nghĩ và cách làm của ông thì ta có thể nghĩ: điểm có thể là một ly bia hay đường thẳng là một cái bàn; và như vậy thì khi Tiên đề được nghiệm đúng thì kết luận cũng sẽ đúng. Những định lý của Godel đã cho một cú quyết định vào hy vọng của ông sáng tạo một lý thuyết mới bằng cách chứng tỏ sự phi mâu thuẫn của nó.
Cả cuộc đời, Hilbert luôn quan tâm đến sự tổng quát hoá và không ngừng tìm ra phương pháp mới để đưa thế giới Toán học tiến lên, vì vậy ông được giới Toán học tôn vinh là nhà Toán học của thế kỷ, có vai trò cơ bản trong sự nghiệp phát triển Toán học thế giới.
Hai mươi ba bài toán của David Hilbert
Mục đích cuối cùng mà tinh thần của các nhà toán học tương lai hướng tới sẽ là gì?
Những phương pháp mới nào, những sự kiện mới nào mà thế kỉ mới sẽ tiết lộ trong lĩnh vực bao la và phì nhiêu của các ý tưởng toán học?
- Bài toán 1: Giả thuyết continuum có được nghiệm đúng? Có thể có một thứ tự tốt trên?
- Bài toán 2: Có thể chứng minh bằng các phương pháp hữu hạn(procédés finistes)sự bền vững của Số học?
- Bài toán 3: Có thể ứng dụng phương pháp phân tích thành đa diện để tính thể tích được không?
- Bài toán 4: Hãy tìm các Hình học trong đó đường ngắn nhất đi từ điểm này đến điểm kia là đoạn thẳng?
- Bài toán 5: Có những nhóm LIE liên tục không? Nói cách khác,giả thiết tính khả vi có cần trong định nghĩa nhóm LIE?
- Bài toán 6: Có thể toán học hoá các Tiên đề trong Vật lý? (Câu hỏi này chưa thật thích hợp với quan niệm hiện đại về 2 môn Toán và Lý).
- Bài toán 7: Ta nói gì về tính siêu việt của ab với a là đại số,b là vô tỷ khác 0?
- Bài toán 8: Giả thiết Riemann- Tất cả các không điểm ảo của hàm dzeta có một phần ảo là ½ .
- Bài toán 9: Cho A là vành các số nguyên của một trường đại số và J là một idéal nguyên tố của A. Với a thuộc A, ta ký hiệu L(J/a) là số nghiệm của phương trình x²≡a(mod j) trừ đi 1.Đây là bài toán về tính nghịch đảo toàn phương, nghĩa là dáng điệu của L(J/a) phụ thuộc vào J.
- Bài toán 10: Có thể nào tìm được một thuật toán giúp ta xác định,sau một số hữu hạn bước,rằng một phương trình Diophante có nghiệm nguyên? (Bài toán này được nghiên cứu trong khuôn khổ các hàm đệ quy).
- Bài toán 11: Hãy thiết lập bảng phân loại các dạng toàn phương có hệ số trong một vành các số nguyên đại số.
- Bài toán 12: Hãy tổng quát hoá bài toán số 9 và nghiên cứu cách xây dựng các trường của lớp.
- Bài toán 13: Người ta chứng tỏ rằng ở bậc n=6 các nghiệm của phương trình bậc n được biểu diễn như là sự chồng chất(superposition)các hàm liên tục có 2 biến của các hệ số của phương trình. Ví dụ các nghiệm của phương trình xX²+2Yx+z=0 được viết dưới dạng f(y,h(x,z) với h(x,z)=xz và f(y,u)=-y±√(y²-u). Kết quả này sẽ sai trong trường hợp n=7
- Bài toán 14: Cho K là một trường,L là một sự nới rộng của K va M=K(X1…Xn).Ta giả sử rằng L con M. Giao L∩K[X1...Xn] có phải là một Đại số hữu hạn không?
- Bài toán 15: Hãy cho một cơ sở chặt chẽ vào kết quả dùng tính liên tục trong những bài toán Hình có dạng: Tìm số đường thẳng của không gian gặp 4 đường thẳng cho trước? (Bài toán này ngày nay được nghiên cứu trong khuôn khổ của Hình học-Đại số).
- Bài toán 16: Hãy nghiên cứu sự sắp đặt các nhánh của một đường cong không kỳ dị,đặc biệt là các đường cong tích phân của những phương trình vi phân xác định bởi đa thức homogènes(đẳng cấp) bậc n.
- Bài toán 17: Mọi phân số hữu tỷ có hệ số thực,dương hoặc bằng 0 tại miền xác định của nó,có thể biểu diễn dưới dạng tổng các bình phương của các phân số hữu tỷ?
- Bài toán 18: Tìm các pavages của không gian Rⁿbằng những đa diện congruents(toàn đẳng).
- Bài toán 19: Hãy nghiên cứu tính chất giải tích của các nghiệm của phương trình vi phân thường hoặc phương trình đạo hàm riêng.
- Bài toán 20: Hilbert đề nghị tổng quát hóa bài toán của Dirichlet cho những lớp hàm rộng hơn.
- Bài toán 21: Hãy mở rộng công trình của Fuchs vào nghiên cứu các phương trình vi phân thoả mãn những điều kiện cho truớc.
- Bài toán 22: Hãy chính xác hóa chứng minh của Poincaré về tính đều hóa các hàm giải tích phức.
- Bài toán 23: Hãy nghiên cứu tính trơn của các nghiệm của phương trình đạo hàm riêng xuất phát từ phép tính biến thiên.
Source Article from http://thay-do.net/david-hilbert-va-23-bai-toan-cua-the-ki-xx.html
- Bài toán 1: Giả thuyết continuum có được nghiệm đúng? Có thể có một thứ tự tốt trên?
- Bài toán 2: Có thể chứng minh bằng các phương pháp hữu hạn(procédés finistes)sự bền vững của Số học?
- Bài toán 3: Có thể ứng dụng phương pháp phân tích thành đa diện để tính thể tích được không?
- Bài toán 4: Hãy tìm các Hình học trong đó đường ngắn nhất đi từ điểm này đến điểm kia là đoạn thẳng?
- Bài toán 5: Có những nhóm LIE liên tục không? Nói cách khác,giả thiết tính khả vi có cần trong định nghĩa nhóm LIE?
- Bài toán 6: Có thể toán học hoá các Tiên đề trong Vật lý? (Câu hỏi này chưa thật thích hợp với quan niệm hiện đại về 2 môn Toán và Lý).
- Bài toán 7: Ta nói gì về tính siêu việt của ab với a là đại số,b là vô tỷ khác 0?
- Bài toán 8: Giả thiết Riemann- Tất cả các không điểm ảo của hàm dzeta có một phần ảo là ½ .
- Bài toán 9: Cho A là vành các số nguyên của một trường đại số và J là một idéal nguyên tố của A. Với a thuộc A, ta ký hiệu L(J/a) là số nghiệm của phương trình x²≡a(mod j) trừ đi 1.Đây là bài toán về tính nghịch đảo toàn phương, nghĩa là dáng điệu của L(J/a) phụ thuộc vào J.
- Bài toán 10: Có thể nào tìm được một thuật toán giúp ta xác định,sau một số hữu hạn bước,rằng một phương trình Diophante có nghiệm nguyên? (Bài toán này được nghiên cứu trong khuôn khổ các hàm đệ quy).
- Bài toán 11: Hãy thiết lập bảng phân loại các dạng toàn phương có hệ số trong một vành các số nguyên đại số.
- Bài toán 12: Hãy tổng quát hoá bài toán số 9 và nghiên cứu cách xây dựng các trường của lớp.
- Bài toán 13: Người ta chứng tỏ rằng ở bậc n=6 các nghiệm của phương trình bậc n được biểu diễn như là sự chồng chất(superposition)các hàm liên tục có 2 biến của các hệ số của phương trình. Ví dụ các nghiệm của phương trình xX²+2Yx+z=0 được viết dưới dạng f(y,h(x,z) với h(x,z)=xz và f(y,u)=-y±√(y²-u). Kết quả này sẽ sai trong trường hợp n=7
- Bài toán 14: Cho K là một trường,L là một sự nới rộng của K va M=K(X1…Xn).Ta giả sử rằng L con M. Giao L∩K[X1...Xn] có phải là một Đại số hữu hạn không?
- Bài toán 15: Hãy cho một cơ sở chặt chẽ vào kết quả dùng tính liên tục trong những bài toán Hình có dạng: Tìm số đường thẳng của không gian gặp 4 đường thẳng cho trước? (Bài toán này ngày nay được nghiên cứu trong khuôn khổ của Hình học-Đại số).
- Bài toán 16: Hãy nghiên cứu sự sắp đặt các nhánh của một đường cong không kỳ dị,đặc biệt là các đường cong tích phân của những phương trình vi phân xác định bởi đa thức homogènes(đẳng cấp) bậc n.
- Bài toán 17: Mọi phân số hữu tỷ có hệ số thực,dương hoặc bằng 0 tại miền xác định của nó,có thể biểu diễn dưới dạng tổng các bình phương của các phân số hữu tỷ?
- Bài toán 18: Tìm các pavages của không gian Rⁿbằng những đa diện congruents(toàn đẳng).
- Bài toán 19: Hãy nghiên cứu tính chất giải tích của các nghiệm của phương trình vi phân thường hoặc phương trình đạo hàm riêng.
- Bài toán 20: Hilbert đề nghị tổng quát hóa bài toán của Dirichlet cho những lớp hàm rộng hơn.
- Bài toán 21: Hãy mở rộng công trình của Fuchs vào nghiên cứu các phương trình vi phân thoả mãn những điều kiện cho truớc.
- Bài toán 22: Hãy chính xác hóa chứng minh của Poincaré về tính đều hóa các hàm giải tích phức.
- Bài toán 23: Hãy nghiên cứu tính trơn của các nghiệm của phương trình đạo hàm riêng xuất phát từ phép tính biến thiên.
Source Article from http://thay-do.net/david-hilbert-va-23-bai-toan-cua-the-ki-xx.html
- Eric W. Weisstein, 23 bài toán của Hilbert tại MathWorld.
- Danh sách 23 bài toán, với mô tả ngắn gọn của các bài đã giải quyết (tiếng Anh)
- Nguyên bản bài trình bày của Hilbert (tiếng Đức)
- Bản dịch tiếng Anh bài trình bày của Hilbert (tiếng Anh)
- Lời giải chi tiết bài toán thứ 18 (tiếng Anh)
- Bài toán thứ 24 của Hilbert (tiếng Anh)
- Bài toán thứ 10 (tiếng Anh)
- 'From Hilbert's Problems to the Future', (Từ các bài toán Hilbert tới tương lai), bài giảng của Robin Wilson, giáo sư trường Gresham, 27 tháng 2 năm 2008 (văn bản, âm thanh và video).
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét