Khi giảng bài kinh tế học, chúng tôi thường xuất phát từ các nguyên lý. Các nguyên lý trong kinh tế học cũng như các tiên đề trong toán học; chúng là cơ sở xây dựng ngành khoa học kinh tế cũng như các chuyên ngành kinh tế học. Trong toán học có 1 khái niệm được gọi là tiên đề. Tiên đề là những điều được thừa nhận nhưng không thể chứng minh. Tiên đề là khởi điểm để xây dựng các ngành toán học khác nhau. Mặt khác mỗi ngành thường đúng với một hệ quy chiếu nhất định, ví dụ với ngành hình học không gian vũ trụ, ánh sáng bị lực hấp dẫn làm cong đi, lúc đó mỗi hành tinh được coi là một điểm; nếu nối 3 điểm sẽ tạo thành tam giác cong có tổng các góc khác 180 độ. Đọc xong bài này vẫn không hiểu tam giác huyền bí của chị em thuộc loại hình học nào để tính diện tích cho đúng ? Tam giác đó tích hợp cả 2 loại hình học Lobachewski và Riemann (lõm và lồi); ai nghiên cứu sâu có thể phát minh ra môn hình học mới ? Chính vì điều này mà nhiều nhà toán học nổi tiếng đã buộc phải thừa nhận: "toán học không phải là chân lý!", vì nó thường trừu tượng hóa và lý tưởng hóa quá xa so với thực tế. Chỉ cần thay đổi chút ít, ví dụ uốn cong mặt phẳng, là đã bước sang loại hình học khác hoàn toàn.
Các loại hình học: Euclid, Lobachewski và Riemann
1. Có bao nhiêu loại hình học?
Chủ yếu gồm ba loại. Nhưng có thể có vài loại.
2. Ba loại vừa nói là ba loại nào?
Hình học Euclid, hình học Lobachewski, và hình học Riemann.
3. Có cái gì đặc biệt khiến chúng khác nhau?
Vâng. Trong hinh học Euclid, tổng số đo ba góc của một tam giác luôn luôn bằng 180 độ, nhưng trong hình học Lobachewski nó luôn nhỏ hơn 180 độ, còn trong hình học Riemann nó luôn lớn hơn 180 độ.
4. Vậy thì ba loại đó liên tục mâu thuẫn với nhau rồi!
Không, chúng đồng thời tồn tại trong không khí khá hòa bình.
6. Euclid đã có đóng góp gì cho Hình học?
Ông đã tổng hợp toàn bộ kiến thức hình học tích lũy cho đến thời đại của ông thành một dạng có hệ thống và logic và biên soạn nó thành 13 tập sách được đặt tên là “Các nguyên tố”. Ông đã phát triển hình học là một cấu trúc logic.
7. Một cấu trúc logic là gì?
Trong một cấu trúc logic, một vài thuật ngữ và một vài tiền đề hay tiên đề không chứng minh được giả định, và toàn bộ phần còn lại được phát triển dựa trên logic.
Những thuật ngữ không định nghĩa được gọi là những khái niệm căn bản, và những tiền đề không chứng minh được gọi là “sự thật nửa-hiển nhiên”, tiên đề, giả thuyết, hay đơn giản là giả thiết.
8. Làm thế nào những thuật ngữ không định nghĩa và những tiền đề không chứng minh lại có chỗ đứng trong một cấu trúc logic?
Trong bất kì một nghiên cứu có hệ thống nào, cái tự nhiên được trông đợi là chúng ta định nghĩa tỉ mỉ toàn bộ những thuật ngữ của chúng ta sao cho chúng ta biết mình đang nói về cái gì. Nhưng mỗi thuật ngữ phải được định nghĩa bằng cái gì đó đã được định nghĩa trước đó, và chính thuật ngữ này lại phải được định nghĩa, và cứ thế; cho nên hành trình đi ngược dòng này phải dừng lại ở đâu đó. Vì thế, có một vài thuật ngữ không định nghĩa được xem là hiển nhiên và với chúng định nghĩa là không cần thiết.
Tương tự, để chứng minh một định lí là đúng, ta cần chỉ ra rằng nó tuân theo một tiền đề nào đó đã được chứng minh trước đó, và chính tiền đề này hóa ra lại cần phải chứng minh, và cứ thế. Hành trình lần ngược này một lần nữa phải dừng lại ở đâu đó nên có một số tiền đề được chấp nhận là đúng và đối với chúng chứng minh là không cần thiết.
9. Phải chăng những tiền đề không chứng minh hay giả thuyết không chịu ràng buộc nào cả?
Chúng chịu hai ràng buộc quan trọng.
Đây là cái đáng khao khát cho lí giải kinh tế học và cái đẹp nhưng nội hàm của một giả thuyết không độc lập không làm vô hiệu hệ thống. Việc phát hiện một giả thuyết như thế đôi khi chẳng dễ dàng gì.
Và, tất nhiên, các giả thuyết phải đơn giản và không chứa quá nhiều con số; nếu không hệ thống logic được phát triển sẽ không có lợi gì nhiều.
11. Phải chăng các giả thuyết không cần phù hợp với kinh nghiệm hằng ngày?
Các giả thuyết không nhất thiết phù hợp với kinh nghiệm hằng ngày, bởi vì phát triển một cấu trúc trên nền tảng của những giả định mới và chắc chắn chỉ có thể đưa đến những khám phá mới tinh và những tiến bộ quan trọng.
Những giả định cực kì chắc chắn đó đã đưa đến khám phá ra những hình học khác ngoài hình học Euclid trong trường hợp rồi chúng ta sẽ thấy.
12. Các giả thuyết được sử dụng như thế nào và dẫn tới cái gì?
Một vài giả định hoặc quy tắc được nêu ra lúc bắt đầu là bình thường và không thể tránh khỏi nên không thể nào dự đoán hết những hệ quả của chúng. Từ đây, các quy tắc được vạch ra phải ăn khớp và từ đó xâu chuỗi, cứ thế cho đến khi đi tới kết quả cuối cùng, và nó thường là bất ngờ.
Người ta cảm thấy có động lực mạnh mẽ để xét lại chuỗi ý tưởng nhưng như thế chỉ khẳng định lại kết quả cuối cùng mà thôi!
13. Những khái niệm căn bản của hình học Euclid là gì?
Trong hình học Euclid, điểm và đường là những khái niệm căn bản. Một điểm được nói là không có độ lớn, và một đường thì không có bề rộng.
Nhưng đây là những mô tả gợi mở chứ không phải những định nghĩa toán học.
14. Các điểm và đường trong hình học khác như thế nào với các đối tác vật chất của chúng?
Khái niệm điểm là một đối tượng rất nhỏ có hiện thân vật chất là một chấm bút chì. Một đường thẳng tự hiện thân ở một sợi chỉ bị kéo căng hoặc một tia sáng.
Điểm và đường trong hình học là cái trừu tượng từ chấm bút chì và đường kẻ bút chì trong kinh nghiệm hằng ngày.
15. Công dụng của sự trừu tượng ấy là gì?
Ưu điểm từ những trừu tượng như thế là các điểm và các đường trong hình học có những tính chất đơn giản hơn nhiều so với các chấm và các đường vật chất. Ví dụ, hai chấm bút chì đủ to có thể được nối lại bởi nhiều đường kẻ bút chì, nhưng nếu hai cái chấm có kích cỡ càng lúc càng nhỏ, thì toàn bộ các đường kẻ trông hầu như giống hệt nhau và chúng ta chẳng gặp khó khăn gì trong việc nhận thức tiên đề hình học rằng có một và chỉ một đường thẳng có thể được vẽ giữa hai điểm bất kì.
16. Các giả thiết của hình học Euclid là gì?
Các giả thiết của Euclid như sau:
Các tiên đề của Euclid như sau:
18. Tiên đề khác với giả thiết như thế nào?
Các tác giả hiện đại thường không nhớ sự phân biệt của Euclid giữa tiên đề và giả thiết, họ sử dụng những tên gọi này nhầm lẫn và gọi chúng là những giả thiết căn bản.
19. Euclid thu được gì từ một tập hợp nhỏ gồm những giả thiết căn bản như thế?
Giả thiết thứ năm của Euclid đã nói ở trên được gọi là định đề hai đường song song. Một dạng tương đương của định đề trên là như sau:
Qua một điểm cho trước nằm ngoài một đường thẳng cho trước, ta vẽ được một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.
Đây là “định đề hai đường song song” nổi tiếng. Nó thể hiện sự thiên tài của Euclid vì đã nhận ra sự cần thiết của nó.
Một hệ quả logic của định đề này là Định lí Pythagoras phát biểu rằng tổng ba góc của một tam giác luôn bằng 180 độ.
21. Hình học Lobachewsky là gì?
Định đề vừa nói ở trên có vẻ quá hiển nhiên nên người ta chưa từng nghĩ nó có thể hoặc có lẽ nên thay đổi. Nhưng một vài nhà toán học, Lobachewsky là một trong số đó, đã nghĩ tới cái xảy ra khi định đề trên được thay thế bởi định đề sau đây:
Qua một điểm cho trước nằm ngoài một đường thẳng cho trước, có thể vẽ hai đường thẳng khác nhau cùng song song với đường thẳng đã cho.
Chúng ta có thể vẽ một hình như sau, trong đó hai đường thẳng tách biệt được vẽ qua điểm P, một hướng sang trái và một hướng sang phải.
Các nhà toán học tìm thấy rằng giả thiết lạ lẫm này không những không mang lại sai lầm gì mà một hệ quả logic của giả thiết mới còn đưa họ đến với một bộ môn hình học mới trong đó tổng số đo ba góc của một tam giác nhỏ hơn 180 độ.
22. Nó chẳng phải là một giả thiết lạ hay sao?
Nói cho hợp lí thì chẳng có gì sai khi giả sử người ta có quyền tự do lựa chọn những giả thiết căn bản bất kì miễn là chúng không mâu thuẫn nhau.
23. Nhưng hai đường thẳng trong hình vẽ ở trên trông không có vẻ gì song song với đường thẳng đã cho!
Nguyên nhân hai đường thẳng trong hình vẽ ở trên, một hướng sang phải và một hướng sang trái, không có vẻ song song với đường thẳng đã cho là vì hình được vẽ trong một mặt phẳng bình thường, nơi chỉ có hình học Euclid đúng còn hình học mới thì không!
24. Còn có ai khác đi tới quan điểm mới trên?
Ba nhà toán học khác nhau, Gauss người Đức, Bolyai người Hungary và Lobachewsky người Nga đã khám phá ra bộ môn hình học phù hợp logic này khá độc lập nhau, và gần như đồng thời, khoảng năm 1826.
25. Vậy tại sao lại gọi là hình học Lobachewsky?
Gauss, nhà toán học nổi tiếng nhất thời ấy, không dám mạo hiểm với những quan niệm mới này vì sợ ảnh hưởng đến danh tiếng của ông.
Bolyai thì dũng cảm xông pha, nhưng ông đã không phát triển những khái niệm mới sâu sắc và trọn vẹn như Lobachewsky.
Lobachewsky là người đầu tiên giới thiệu các khái niệm một cách rộng rãi, và còn phát triển chúng sau đó trong một số bài báo. Vì thế, bộ môn hình học mới được gọi là hình học Lobachewsky.
26. Hình học Riemann là gì?
Riemann, một nhà toán học người Đức, vào khoảng năm 1854, đã nghĩ tới việc thay thế định đề hai đường song song bằng định đề sau đây:
Qua một điểm cho trước không thuộc một đường thẳng cho trước, không vẽ được đường thẳng nào song song với đường thẳng đã cho.
27. Những định lí nào đúng trong cả ba bộ môn hình học?
Những định lí hình học Euclid không phụ thuộc vào định đề hai đường song song thì vẫn không thay đổi.
Mặt giả cầu là mặt tròn xoay thu được bằng cách quay đường cong gọi là tractrix xung quanh trục thẳng đứng Oy. Các tam giác vẽ trên những mặt khác nhau được thể hiện trong hình bên dưới:
Mỗi môn hình học hoạt động tốt trên mặt tương ứng của nó.
Chủ yếu gồm ba loại. Nhưng có thể có vài loại.
2. Ba loại vừa nói là ba loại nào?
Hình học Euclid, hình học Lobachewski, và hình học Riemann.
3. Có cái gì đặc biệt khiến chúng khác nhau?Vâng. Trong hinh học Euclid, tổng số đo ba góc của một tam giác luôn luôn bằng 180 độ, nhưng trong hình học Lobachewski nó luôn nhỏ hơn 180 độ, còn trong hình học Riemann nó luôn lớn hơn 180 độ.
4. Vậy thì ba loại đó liên tục mâu thuẫn với nhau rồi!
Không, chúng đồng thời tồn tại trong không khí khá hòa bình.
5. Hinh học Euclid là gì?
Hình học dạy ở nhà trường trong đó các hình vẽ và sơ đồ được vẽ trên một tờ giấy hoặc một bảng đen bình thường được gọi là hình học Euclid để tôn vinh nhà toán học Euclid. Ông sinh sống vào khoảng năm 300 trước Công nguyên ở Syria nhưng có gốc gác Hi Lạp.
Hình học dạy ở nhà trường trong đó các hình vẽ và sơ đồ được vẽ trên một tờ giấy hoặc một bảng đen bình thường được gọi là hình học Euclid để tôn vinh nhà toán học Euclid. Ông sinh sống vào khoảng năm 300 trước Công nguyên ở Syria nhưng có gốc gác Hi Lạp.
6. Euclid đã có đóng góp gì cho Hình học?
Ông đã tổng hợp toàn bộ kiến thức hình học tích lũy cho đến thời đại của ông thành một dạng có hệ thống và logic và biên soạn nó thành 13 tập sách được đặt tên là “Các nguyên tố”. Ông đã phát triển hình học là một cấu trúc logic.
7. Một cấu trúc logic là gì?
Trong một cấu trúc logic, một vài thuật ngữ và một vài tiền đề hay tiên đề không chứng minh được giả định, và toàn bộ phần còn lại được phát triển dựa trên logic.
Những thuật ngữ không định nghĩa được gọi là những khái niệm căn bản, và những tiền đề không chứng minh được gọi là “sự thật nửa-hiển nhiên”, tiên đề, giả thuyết, hay đơn giản là giả thiết.
8. Làm thế nào những thuật ngữ không định nghĩa và những tiền đề không chứng minh lại có chỗ đứng trong một cấu trúc logic?
Trong bất kì một nghiên cứu có hệ thống nào, cái tự nhiên được trông đợi là chúng ta định nghĩa tỉ mỉ toàn bộ những thuật ngữ của chúng ta sao cho chúng ta biết mình đang nói về cái gì. Nhưng mỗi thuật ngữ phải được định nghĩa bằng cái gì đó đã được định nghĩa trước đó, và chính thuật ngữ này lại phải được định nghĩa, và cứ thế; cho nên hành trình đi ngược dòng này phải dừng lại ở đâu đó. Vì thế, có một vài thuật ngữ không định nghĩa được xem là hiển nhiên và với chúng định nghĩa là không cần thiết.
Tương tự, để chứng minh một định lí là đúng, ta cần chỉ ra rằng nó tuân theo một tiền đề nào đó đã được chứng minh trước đó, và chính tiền đề này hóa ra lại cần phải chứng minh, và cứ thế. Hành trình lần ngược này một lần nữa phải dừng lại ở đâu đó nên có một số tiền đề được chấp nhận là đúng và đối với chúng chứng minh là không cần thiết.
9. Phải chăng những tiền đề không chứng minh hay giả thuyết không chịu ràng buộc nào cả?
Chúng chịu hai ràng buộc quan trọng.
Thứ nhất là các giả thuyết phải nhất quán. Điều này có nghĩa là các phát biểu mâu thuẫn sẽ không được gợi đến bởi những giả thuyết. Chúng phải không dẫn tới “A là B” và “A không phải là B”.
Thứ hai là các giả thuyết phải hoàn chỉnh. Điều này có nghĩa là mỗi định lí của hệ thống logic phải được suy ra từ các giả thuyết.
10. Có bất kì ràng buộc nào khác nữa không?
Cái hợp lí là các giả thuyết là độc lập. Nghĩa là không có giả thuyết nào được suy luận ra từ giả thuyết khác.
10. Có bất kì ràng buộc nào khác nữa không?
Cái hợp lí là các giả thuyết là độc lập. Nghĩa là không có giả thuyết nào được suy luận ra từ giả thuyết khác.
Đây là cái đáng khao khát cho lí giải kinh tế học và cái đẹp nhưng nội hàm của một giả thuyết không độc lập không làm vô hiệu hệ thống. Việc phát hiện một giả thuyết như thế đôi khi chẳng dễ dàng gì.
Và, tất nhiên, các giả thuyết phải đơn giản và không chứa quá nhiều con số; nếu không hệ thống logic được phát triển sẽ không có lợi gì nhiều.
11. Phải chăng các giả thuyết không cần phù hợp với kinh nghiệm hằng ngày?
Các giả thuyết không nhất thiết phù hợp với kinh nghiệm hằng ngày, bởi vì phát triển một cấu trúc trên nền tảng của những giả định mới và chắc chắn chỉ có thể đưa đến những khám phá mới tinh và những tiến bộ quan trọng.
Những giả định cực kì chắc chắn đó đã đưa đến khám phá ra những hình học khác ngoài hình học Euclid trong trường hợp rồi chúng ta sẽ thấy.
12. Các giả thuyết được sử dụng như thế nào và dẫn tới cái gì?
Một vài giả định hoặc quy tắc được nêu ra lúc bắt đầu là bình thường và không thể tránh khỏi nên không thể nào dự đoán hết những hệ quả của chúng. Từ đây, các quy tắc được vạch ra phải ăn khớp và từ đó xâu chuỗi, cứ thế cho đến khi đi tới kết quả cuối cùng, và nó thường là bất ngờ.
Người ta cảm thấy có động lực mạnh mẽ để xét lại chuỗi ý tưởng nhưng như thế chỉ khẳng định lại kết quả cuối cùng mà thôi!
13. Những khái niệm căn bản của hình học Euclid là gì?
Trong hình học Euclid, điểm và đường là những khái niệm căn bản. Một điểm được nói là không có độ lớn, và một đường thì không có bề rộng.
Nhưng đây là những mô tả gợi mở chứ không phải những định nghĩa toán học.
14. Các điểm và đường trong hình học khác như thế nào với các đối tác vật chất của chúng?
Khái niệm điểm là một đối tượng rất nhỏ có hiện thân vật chất là một chấm bút chì. Một đường thẳng tự hiện thân ở một sợi chỉ bị kéo căng hoặc một tia sáng.
Điểm và đường trong hình học là cái trừu tượng từ chấm bút chì và đường kẻ bút chì trong kinh nghiệm hằng ngày.
15. Công dụng của sự trừu tượng ấy là gì?
Ưu điểm từ những trừu tượng như thế là các điểm và các đường trong hình học có những tính chất đơn giản hơn nhiều so với các chấm và các đường vật chất. Ví dụ, hai chấm bút chì đủ to có thể được nối lại bởi nhiều đường kẻ bút chì, nhưng nếu hai cái chấm có kích cỡ càng lúc càng nhỏ, thì toàn bộ các đường kẻ trông hầu như giống hệt nhau và chúng ta chẳng gặp khó khăn gì trong việc nhận thức tiên đề hình học rằng có một và chỉ một đường thẳng có thể được vẽ giữa hai điểm bất kì.
16. Các giả thiết của hình học Euclid là gì?
Các giả thiết của Euclid như sau:
- Qua hai điểm bất kì, luôn luôn vẽ được một đường thẳng.
- Đường thẳng có thể kéo dài vô hạn.
- Với tâm bất kì và bán kính bất kì, luôn luôn vẽ được một đường tròn.
- Mọi góc vuông đều bằng nhau.
- Nếu hai đường thẳng tạo thành với một đường thẳng thứ ba hai góc trong cùng phía có tổng nhỏ hơn 180 độ thì chúng sẽ cắt nhau về phía đó.
Các tiên đề của Euclid như sau:
- Hai cái cùng bằng cái thứ ba thì bằng nhau.
- Thêm những cái bằng nhau vào những cái bằng nhau thì được những cái bằng nhau.
- Bớt đi những cái bằng nhau từ những cái bằng nhau thì được những cái bằng nhau.
- Trùng nhau thì bằng nhau.
- Toàn thể lớn hơn một phần.
18. Tiên đề khác với giả thiết như thế nào?
Các tác giả hiện đại thường không nhớ sự phân biệt của Euclid giữa tiên đề và giả thiết, họ sử dụng những tên gọi này nhầm lẫn và gọi chúng là những giả thiết căn bản.
19. Euclid thu được gì từ một tập hợp nhỏ gồm những giả thiết căn bản như thế?
- Chỉ sử dụng vài giả thiết căn bản này, Euclid đã chứng minh hàng trăm định lí, nhiều trong số chúng nổi tiếng, và đi đến xếp thứ tự các định lí.
- Khái niệm chứng minh, cái cấu thành tinh thần căn bản của toán học, do Euclid nêu ra.
- Vì các chứng minh phải được thực hiện hoàn toàn trong khuôn khổ các giả thiết, cho nên sự chọn lựa những giả thiết căn bản của Euclid thật sự là đáng nể và là thành tựu của thiên tài.
Giả thiết thứ năm của Euclid đã nói ở trên được gọi là định đề hai đường song song. Một dạng tương đương của định đề trên là như sau:
Qua một điểm cho trước nằm ngoài một đường thẳng cho trước, ta vẽ được một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.
Đây là “định đề hai đường song song” nổi tiếng. Nó thể hiện sự thiên tài của Euclid vì đã nhận ra sự cần thiết của nó.
Một hệ quả logic của định đề này là Định lí Pythagoras phát biểu rằng tổng ba góc của một tam giác luôn bằng 180 độ.
21. Hình học Lobachewsky là gì?
Định đề vừa nói ở trên có vẻ quá hiển nhiên nên người ta chưa từng nghĩ nó có thể hoặc có lẽ nên thay đổi. Nhưng một vài nhà toán học, Lobachewsky là một trong số đó, đã nghĩ tới cái xảy ra khi định đề trên được thay thế bởi định đề sau đây:
Qua một điểm cho trước nằm ngoài một đường thẳng cho trước, có thể vẽ hai đường thẳng khác nhau cùng song song với đường thẳng đã cho.
Chúng ta có thể vẽ một hình như sau, trong đó hai đường thẳng tách biệt được vẽ qua điểm P, một hướng sang trái và một hướng sang phải.
Các nhà toán học tìm thấy rằng giả thiết lạ lẫm này không những không mang lại sai lầm gì mà một hệ quả logic của giả thiết mới còn đưa họ đến với một bộ môn hình học mới trong đó tổng số đo ba góc của một tam giác nhỏ hơn 180 độ.
22. Nó chẳng phải là một giả thiết lạ hay sao?
Nói cho hợp lí thì chẳng có gì sai khi giả sử người ta có quyền tự do lựa chọn những giả thiết căn bản bất kì miễn là chúng không mâu thuẫn nhau.
23. Nhưng hai đường thẳng trong hình vẽ ở trên trông không có vẻ gì song song với đường thẳng đã cho!
Nguyên nhân hai đường thẳng trong hình vẽ ở trên, một hướng sang phải và một hướng sang trái, không có vẻ song song với đường thẳng đã cho là vì hình được vẽ trong một mặt phẳng bình thường, nơi chỉ có hình học Euclid đúng còn hình học mới thì không!
24. Còn có ai khác đi tới quan điểm mới trên?
Ba nhà toán học khác nhau, Gauss người Đức, Bolyai người Hungary và Lobachewsky người Nga đã khám phá ra bộ môn hình học phù hợp logic này khá độc lập nhau, và gần như đồng thời, khoảng năm 1826.
25. Vậy tại sao lại gọi là hình học Lobachewsky?
Gauss, nhà toán học nổi tiếng nhất thời ấy, không dám mạo hiểm với những quan niệm mới này vì sợ ảnh hưởng đến danh tiếng của ông.
Bolyai thì dũng cảm xông pha, nhưng ông đã không phát triển những khái niệm mới sâu sắc và trọn vẹn như Lobachewsky.
Lobachewsky là người đầu tiên giới thiệu các khái niệm một cách rộng rãi, và còn phát triển chúng sau đó trong một số bài báo. Vì thế, bộ môn hình học mới được gọi là hình học Lobachewsky.
26. Hình học Riemann là gì?
Riemann, một nhà toán học người Đức, vào khoảng năm 1854, đã nghĩ tới việc thay thế định đề hai đường song song bằng định đề sau đây:
Qua một điểm cho trước không thuộc một đường thẳng cho trước, không vẽ được đường thẳng nào song song với đường thẳng đã cho.
Một hệ quả logic của giả thiết này đưa ông đến với một bộ môn hình học trong đó tổng ba góc của một tam giác lớn hơn 180 độ.
Bộ môn hình học này được gọi là hình học Riemann.
Bộ môn hình học này được gọi là hình học Riemann.
27. Những định lí nào đúng trong cả ba bộ môn hình học?
Những định lí hình học Euclid không phụ thuộc vào định đề hai đường song song thì vẫn không thay đổi.
Ví dụ, các định lí sau đây là đúng trong cả ba bộ môn hình học:
(i) Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.
(ii) Hai góc đáy của một tam giác cân thì bằng nhau.
28. Đâu là chỗ khác nhau giữa ba bộ môn hình học?
So sánh dưới đây nêu rõ những chỗ khác biệt.
Trong hình học Euclid:
(i) Tổng ba góc của một tam giác luôn bằng 180 độ.
(ii) Hai đường thẳng song song thì không bao giờ gặp nhau, cho dù có kéo dài ra bao xa, và luôn luôn cách nhau một khoảng không đổi.
(iii) Hai tam giác có thể có ba góc bằng nhau nhưng diện tích khác nhau. Hai tam giác như vậy được gọi là tam giác đồng dạng, và tam giác này là hình phóng to của tam giác kia.
(iv) Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, chỉ vẽ được một đường vuông góc với đường thẳng đó.
(v) Tỉ số của chu vi của một đường tròn và đường kính của nó bằng π.
Trong hình học Lobachewsky:
(i) Tổng ba góc của một tam giác luôn nhỏ hơn 180 độ, và lượng nhỏ hơn tỉ lệ với diện tích của tam giác.
(ii) Hai đường thẳng song song thì không bao giờ gặp nhau, nhưng khoảng cách giữa chúng nhỏ dần đi khi kéo dài chúng ra xa.
(iii) Chỉ hai tam giác bằng nhau về diện tích mới có ba góc bằng nhau, cho nên hai tam giác có diện tích khác nhau không bao giờ có thể đồng dạng. Trong bộ môn hình học này, khi một tam giác tăng diện tích, thì tổng số đo ba góc của nó giảm.
(iv) Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, chỉ vẽ được một đường vuông góc với đường thẳng đó giống như trong hình học Euclid.
(v) Tỉ số của chu vi của một đường tròn và đường kính của nó luôn lớn hơn π, và tỉ số đó càng lớn khi diện tích vòng tròn càng lớn.
Trong hình học Riemann:
(i) Tổng ba góc của một tam giác luôn lớn hơn 180 độ.
(ii) Mỗi cặp đường thẳng nằm trong một mặt phẳng phải cắt nhau.
(iii) Tam giác càng lớn thì góc càng lớn.
(iv) Có thể vẽ vô số đường vuông góc từ một điểm đến một đường thẳng cho trước.
(v) Tỉ số của chu vi của một đường tròn và đường kính của nó luôn nhỏ hơn π , và giảm khi diện tích của vòng tròn tăng.
29. Bộ môn hình học nào đúng?
Mỗi bộ môn hình học đều đúng nhưng chỉ trên những mặt mà nó có nghĩa thôi.
Hình học Euclid áp dụng cho những hình vẽ trên một tờ giấy hoặc trên một mặt phẳng.
Hình học phi Euclid của Riemann rất gần đúng cho những hình vẽ trên bề mặt của một hình cầu.
Hình học phi Euclid của Lobachewsky đúng cho những hình vẽ trên một mặt gọi là giả cầu. Xem bên dưới:
(i) Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.
(ii) Hai góc đáy của một tam giác cân thì bằng nhau.
28. Đâu là chỗ khác nhau giữa ba bộ môn hình học?
So sánh dưới đây nêu rõ những chỗ khác biệt.
Trong hình học Euclid:
(i) Tổng ba góc của một tam giác luôn bằng 180 độ.
(ii) Hai đường thẳng song song thì không bao giờ gặp nhau, cho dù có kéo dài ra bao xa, và luôn luôn cách nhau một khoảng không đổi.
(iii) Hai tam giác có thể có ba góc bằng nhau nhưng diện tích khác nhau. Hai tam giác như vậy được gọi là tam giác đồng dạng, và tam giác này là hình phóng to của tam giác kia.
(iv) Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, chỉ vẽ được một đường vuông góc với đường thẳng đó.
(v) Tỉ số của chu vi của một đường tròn và đường kính của nó bằng π.
Trong hình học Lobachewsky:
(i) Tổng ba góc của một tam giác luôn nhỏ hơn 180 độ, và lượng nhỏ hơn tỉ lệ với diện tích của tam giác.
(ii) Hai đường thẳng song song thì không bao giờ gặp nhau, nhưng khoảng cách giữa chúng nhỏ dần đi khi kéo dài chúng ra xa.
(iii) Chỉ hai tam giác bằng nhau về diện tích mới có ba góc bằng nhau, cho nên hai tam giác có diện tích khác nhau không bao giờ có thể đồng dạng. Trong bộ môn hình học này, khi một tam giác tăng diện tích, thì tổng số đo ba góc của nó giảm.
(iv) Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, chỉ vẽ được một đường vuông góc với đường thẳng đó giống như trong hình học Euclid.
(v) Tỉ số của chu vi của một đường tròn và đường kính của nó luôn lớn hơn π, và tỉ số đó càng lớn khi diện tích vòng tròn càng lớn.
Trong hình học Riemann:
(i) Tổng ba góc của một tam giác luôn lớn hơn 180 độ.
(ii) Mỗi cặp đường thẳng nằm trong một mặt phẳng phải cắt nhau.
(iii) Tam giác càng lớn thì góc càng lớn.
(iv) Có thể vẽ vô số đường vuông góc từ một điểm đến một đường thẳng cho trước.
(v) Tỉ số của chu vi của một đường tròn và đường kính của nó luôn nhỏ hơn π , và giảm khi diện tích của vòng tròn tăng.
29. Bộ môn hình học nào đúng?
Mỗi bộ môn hình học đều đúng nhưng chỉ trên những mặt mà nó có nghĩa thôi.
Hình học Euclid áp dụng cho những hình vẽ trên một tờ giấy hoặc trên một mặt phẳng.
Hình học phi Euclid của Riemann rất gần đúng cho những hình vẽ trên bề mặt của một hình cầu.
Hình học phi Euclid của Lobachewsky đúng cho những hình vẽ trên một mặt gọi là giả cầu. Xem bên dưới:
Mặt giả cầu là mặt tròn xoay thu được bằng cách quay đường cong gọi là tractrix xung quanh trục thẳng đứng Oy. Các tam giác vẽ trên những mặt khác nhau được thể hiện trong hình bên dưới:
Mỗi môn hình học hoạt động tốt trên mặt tương ứng của nó.
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét