TIÊN ĐỀ, HÌNH HỌC VÀ THỜI GIAN

Mình thường liên hệ kinh tế với toán học khi dạy kinh tế. Hôm nay đọc lại mấy tài liệu này để củng cố trí nhớ vì lâu ngày không ôn, lại tuổi cao... nên sợ có thể đôi khi nhầm lẫn khi giảng bài.

HÌNH HỌC VÀ THỜI GIAN

Một tiên đề trong toán học là một mệnh đề được coi như luôn đúng và không cần chứng minh. Một hệ thống tiên đề hay gọn hơn hệ tiên đề là một tập hữu hạn các tiên đề thoả mãn điều kiện là các suy diễn logic trên hệ thống tiên đề này không thể xảy ra mâu thuẫn.

Sự cần thiết của tiên đề
Tiên đề là điều kiện cần thiết để xây dựng bất cứ một lý thuyết nào. Bất cứ một khẳng định (hay đề xuất) nào đưa ra đều cần được giải thích hay xác minh bằng một khẳng định khác. Và vì nếu một khẳng định được giải thích hay xác minh bằng chính nó thì khẳng định đó sẽ không có giá trị, nên cần có một số vô hạn các khẳng định để giải thích bất kì một khẳng định nào. Vì thế cần phải có một (hay một số) khẳng định được công nhận là đúng để làm chỗ bắt đầu và đưa quá trình suy diễn từ vô hạn về hữu hạn. Tương tự như vậy, bất cứ sự suy luận hay giao tiếp nào của con người cũng cần có điểm xuất phát chung. Tiên đề thuộc vào nhóm những yếu tố đầu tiên này. Một số yếu tố khác là: định nghĩa, quan hệ, v.v. 


Lưu ý: Euclid nhận thấy sự cần thiết này khi xây dựng hình học của mình, do đó ông đưa ra hệ thống tiên đề đầu tiên trong lịch sử: hệ tiên đề Euclid. Trong bộ "Cơ bản" của mình, ông nêu ra 23 định nghĩa, 5 tiên đề và 5 định đề. Sau này người ta thống nhất chung một tên gọi là tiên đề.

Tiên đề cũng được sử dụng trong các ngành khoa học khác như: vật lý, hoá học, ngôn ngữ học, v.v.

Tiên đề trong toán học
Nổi tiếng nhất là tiên đề V của Euclide. Nội dung của tiên đề này là: Nếu hai đường thẳng tạo với một đường thẳng thứ ba hai góc trong cùng phía có tổng nhỏ hơn 180o thì chúng sẽ cắt nhau về phía đó. Hình học phi Euclid là bộ môn hình học dựa trên cơ sở phủ nhận ít nhất một trong số những tiên đề Euclid. Hình học phi Euclid được bắt đầu bằng những công trình nghiên cứu của Lobachevsky (được Lobachevsky gọi là hình học trừu tượng) và phát triển bởi Bolyai, Gauss, Riemann. Cha đẻ của bộ môn này là Nikolai Ivanovich Lobachevsky, người Nga.


Hình học phi Euclid là cơ sở toán học cho lý thuyết tương đối của Albert Einstein, thông qua việc đề cập đến độ cong hình học của không gian nhiều chiều.

Hình học Euclid

Hình học Euclid dựa trên cơ sở công nhận, không cần chứng minh hệ thống các tiên đề sau:

1. Hai điểm bất kỳ không trùng nhau xác định một đường thẳng và chỉ duy nhất một đường thẳng đó.
2. Ba điểm bất kỳ không thẳng hàng (hay không nằm trên một đường thẳng) xác định một và chỉ duy nhất một mặt phẳng.
3. Nếu có ít nhất hai điểm khác nhau của một đường thẳng mà cùng thuộc về một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đó đều thuộc về mặt phẳng đó.
4. Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng ít nhất còn có một điểm chung nữa.
5. Từ một điểm ngoài một đường thẳng, có thể vẽ được một và chỉ duy nhất một đường thẳng song song với đường thẳng đó. (Tiên đề song song)Lưu ý, các tiên đề Euclid ngầm hiểu là áp dụng trong hình học phẳng.

Hình học LobachevskyHình học Lobachevsky (còn gọi hình học hyperbolic) do nhà toán học Nga Nikolai Ivanovich Lobachevsky khởi xướng, dựa trên cơ sở bác bỏ tiên đề về đường thẳng song song. Lobachevsky giả thiết rằng từ một điểm ngoài đường thẳng ta có thể vẽ được hơn một đường thẳng khác, nằm trên cùng mặt phẳng với đường thẳng gốc, mà không giao nhau với đường thẳng gốc (đường thẳng song song). 

Từ đó, ông lập luận tiếp rằng từ điểm đó, có thể xác định được vô số đường thẳng khác cũng song song với đường thẳng gốc, từ đó xây dựng nên một hệ thống lập luận hình học logic.

Để xem xét hình học Lobachevsky ứng dụng vào lý thuyết không-thời gian cong, cần thiết phải xem lại khái niệm đường thẳng nối hai điểm. Trong lý thuyết tương đối rộng, trong cơ học lượng tử và trong vật lý thiên văn, người ta mặc nhiên thừa nhận đó là đường đi của tia sáng-sóng điện từ giữa hai điểm đó.

Trong hình học Euclid, tổng các góc trong của một tam giác bằng 180°, nhưng trong hình học phi Euclid, tổng các góc đó không bằng 180°, và phụ thuộc vào kích thước của tam giác đó. 

Trong hình học Hyperbolic, tổng các góc trong một tam giác nhỏ hơn 180°. Ngược lại, trên hình học mặt cầu, tổng các góc trong của một tam giác cầu lớn hơn 180° (ảnh dưới)

HÌNH HỌC VÀ THỜI GIAN

Hình học phẳng và hình học không gian trong chương trình toán phổ thông đều là hình học Euclide. Thêm một chiều thời gian vào hình học chúng ta sẽ có hình học không thời gian hay còn gọi là hình học Minkowski với những nhận thức mới về thế giới xung quanh. Một trong phát hiện quan trọng của hình học không thời gian có ảnh hưởng tới sự phát triển của nhân loại là công thức năng lượng của Einstein. Công nghệ định vị toàn cầu GPS sẽ không thể chính xác nếu không tính đến các quan niệm mới về khoảng cách và thời gian. Hình học không thời gian ra đời khi hình học Euclide không thể giải thích được các quan sát thực nghiệm về vận tốc ánh sáng. Einstein, Lorentz, Poincaré và Minkowski đã tìm ra hình học không thời gian khi đi tìm một mô hình toán học để giải thích thí nghiệm Michelson-Morley. Ứng dụng toán học vào thực tiễn trước tiên là phải chọn mô hình toán học phù hợp và không ràng buộc các quan niệm của chúng ta vào bất cứ lý thuyết toán học nào.

1. Nguyên lý cộng vận tốc

Giả sử có một con tàu chạy với vận tốc $v$, trên tàu có một hành khách đi với vận tốc $u^{\prime }$. Người quan sát trên sân ga sẽ thấy hành khách chuyển động với vận tốc $u$ là bao nhiêu? Bài toán này tuy rất đơn giản đối với học sinh phổ thông, nhưng chúng ta sẽ thử thận trọng kiểm tra từng bước lập luận. Nhiều ý tưởng khoa học vĩ đại cũng đã ra đời khi xem xét các ví dụ đơn giản như vậy. Nếu chúng ta đánh dấu một điểm $X$ bất kỳ trên con tàu, trong một khoảng thời gian $t$, người quan sát trên sân ga sẽ thấy điểm $X$ dịch chuyển một đoạn đường $x=vt$. So với điểm $X$, hành khách sẽ đi được một đoạn đường là $x^{\prime }=u^{\prime }t$. Trong hình học Euclide, khoảng cách mà hành khách di chuyển so với sân ga là $s=s_1+s_2=(v+u^{\prime })t$. Như vậy vận tốc của hành khách là $u=v+u^{\prime }$. Đó chính là nguyên lý cộng vận tốc (Hình 1).

Hình 1: Nguyên lý cộng vận tốc.

Nguyên lý cộng vận tốc được ứng dụng rộng rãi trong đời sống và tỏ ra khá chính xác với các vận tốc trong đời thường, nhỏ so với vận tốc ánh sáng $c=300.000\text{km/c}$. Toán học đẹp đẽ ở chỗ giúp ta biết trước được các kết quả đo đạc bằng cách sử dụng các công thức toán. Lập luận của nguyên lý cộng vận tốc chỉ dựa trên việc cộng khoảng cách dường như hiển nhiên là đúng. Tuy nhiên, những chân lý được cho là hiển nhiên nhiều lần đã đánh lừa cả những bộ óc vĩ đại nhất. Ví dụ như, năm 1922, Elie Cartan đã đưa ra một lý thuyết tổng quát cho hình học Riemann. Ngay lập tức, ông đã nghĩ tới việc áp dụng lý thuyết này để mở rộng lý thuyết tương đối của Einstein. Do sử dụng một công thức sai mà Cartan cho là đúng "hiển nhiên", ông đã đi đến những hệ quả mâu thuẫn với thực tiễn. Điều đó làm việc ứng dụng lý thuyết Cartan vào thực tế bị chậm lại gần nửa thế kỷ.

Chúng ta hãy thử xét thêm một bài toán khác. Giả sử trên tàu chuyển động với vận tốc $v$ có một nguồn sáng. Biết rằng ánh sáng truyền với vận tốc xấp xỉ $c=300.000\text{km/s}$. Nếu áp dụng nguyên lý cộng vận tốc, người quan sát trên sân ga sẽ thấy ánh sáng chuyển động với vận tốc $c+v$ (Hình 2).

Hình 2: Vận tốc ánh sáng không đổi khi nguồn sáng chuyển động.

Mặc dù trong lập luận nêu trên, chúng ta chỉ dựa trên nguyên lý cộng vận tốc, nhưng chúng ta sẽ thấy kết luận của nó khác xa với thực tế.

2. Thí nghiệm Michelson-Morley

Năm 1887, Albert Michelson và Edward Morley đã tiến hành một thí nghiệm cho thấy rằng ánh sáng truyền theo mọi phương với vận tốc không đổi, không phụ thuộc vào vận tốc của nguồn sáng. Theo kết quả thí nghiệm Michelson-Morley, nguyên lý cộng vận tốc không thể áp dụng cho ánh sáng. Cụ thể, trong ví dụ nêu trên, người quan sát đứng trên sân ga sẽ phải thấy vận tốc ánh sáng cũng bằng c giống như hành khách trên tàu. Điều đó có gì mâu thuẫn hay không? Thí nghiệm hay lập luận về nguyên lý cộng vận tốc đã có sai sót? Trong thực tế, thí nghiệm MichelsonMorley đã được lặp lại nhiều lần, loại bỏ mọi sai số và đều dẫn đến kết luận như nhau, không thể lầm lẫn.

Chúng ta sẽ còn phải biện luận một khả năng nữa. Thí nghiệm Michelson-Morley được thực hiện trong phòng thí nghiệm đặt trên Trái Đất. Vì thế, nếu Trái Đất đứng yên tuyệt đối như trong thuyết địa tâm của Nhà Thờ Trung cổ, thí nghiệm Michelson-Morley cũng sẽ cho thấy ánh sáng truyền theo mọi phương với vận tốc không đổi. Tuy vậy, chúng ta có những bằng chứng khác để chắc chắn rằng Trái Đất không đứng yên và thực hiện nhiều chuyển động quay khác nhau. Khi một vật bất kỳ chuyển động quay, sẽ có một lực Coriolis tác động lên vật chuyển động trên bề mặt của nó. Trong thực tế người ta đã quan sát được lực này trên hai bán cầu của Trái Đất theo hai hướng khác nhau như trong Hình 3.

Hình 3: Lực Coriolis chứng tỏ Trái Đất không đứng yên.

Chúng ta sẽ đi tìm một lời giải thích khác cho thí nghiệm Michelson-Morley.

3. Phép biến đổi Lorentz

Như vậy, chúng ta cần phải có một công thức cộng vận tốc mới có thể áp dụng được cả cho trường hợp nguồn sáng chuyển động. Công thức mới phải đảm bảo vận tốc ánh sáng đối với người quan sát trên sân ga cũng giống như đối với người quan sát trên tàu và đều bằng $c$ vừa có thể bao gồm cả nguyên lý cộng vận tốc cũ ở một mức độ chính xác nào đó. Để làm được điều này, chúng ta sẽ xét lại các giả thiết "ngầm định" trong lập luận nêu trên về cộng vận tốc. Thậm chí, chúng ta có thể phải thay đổi các quan niệm về khoảng cách, thời gian, hoặc cả hai trong nguyên lý cộng vận tốc mới.

Người đầu tiên làm được điều đó vào năm 1892 là nhà vật lý người Hà Lan Henrik Lorentz (giải thưởng Nobel năm 1902). Ông giải thích việc vận tốc ánh sáng không thay đổi khi nguồn sáng chuyển động bằng cách cho rằng thời gian và khoảng cách do người quan sát trên sân ga và trên tàu đo được là khác nhau. Cụ thể người quan sát trên sân ga sẽ đo được khoảng thời gian và quãng đường một đối tượng bất kỳ (kể cả ánh sáng) đi được trong khoảng thời gian lần lượt là $t$và $x$. Trong khi đó người quan sát đứng yên trên tàu sẽ đo được các đại lượng này là $t^{\prime }$và $x^{\prime }$. Lorentz đã tìm được liên hệ giữa các đại lượng do hai người quan sát được thông qua phép biến đổi Lorentz sau đây$$\begin{array}{}{x}^{\prime }=\beta (-vt+x),t^{\prime }=\beta \left(t-\frac{v}{c^2}x\right)& \text{(1)}\end{array}$$
trong đó $\beta =1/\sqrt{1-v^2/c^2}$ là hệ số Lorentz. Trước tiên, chúng ta hãy kiểm tra xem phép biến đổi Lorentz có thỏa mãn các yêu cầu đã đề ra hay không.

Dễ dàng thử được,công thức biến đổi Lorentz (1) thỏa mãn hệ thức$$\begin{array}{}{x}^2-c^2{t}^2=x^{\prime 2}-c^2{t}^{\prime 2}& \text{(2)}\end{array}$$
Hệ thức (2) có ý nghĩa rất quan trọng: Đại lượng $x^2-c^2{t}^2$ luôn là một số không đổi không phụ thuộc người quan sát khi họ chuyển động so với nhau.

Trong trường hợp số không đổi này bằng 0, đối tượng quan sát sẽ chuyển động với vận tốc ánh sáng đối với cả hai người quan sát bất kỳ$$\begin{array}{}u=x/t=u^{\prime }=x^{\prime }/t^{\prime }=c& \text{(3)}\end{array}$$
đây chính là trường hợp nguồn sáng chuyển động không làm thay đổi vận tốc của ánh sáng trong thí nghiệm Michelson-Morley.
Chúng ta hãy tìm công thức cộng vận tốc mới từ công thức biến đổi Lorentz (1) như sau:$$\begin{array}{}{x}^{\prime }/t^{\prime }=\frac{-v+x/t}{1-v/c^{2}x/t}& \text{(4)}\end{array}$$
hoặc một cách tường minh hơn$$\begin{array}{}{u}^{\prime }=\frac{-v+u}{1-v/c^{2}u},u=\frac{u^{\prime }+v}{1+v/c^2{u}^{\prime }}& \text{(5)}\end{array}$$
Đối với những vật chuyển động với vận tốc nhỏ hơn nhiều so với vận tốc ánh sáng $v/c^2\approx 0$, chúng ta có nguyên lý cộng vận tốc cũ $u=v+u^{\prime }$. Như vậy, nếu thời gian và quãng đường do hai người quan sát bất kỳ đo được liên hệ với nhau bởi phép biến đổi Lorentz (1), chúng ta sẽ có nguyên lý cộng vận tốc mới thỏa mãn mọi yêu cầu của thực nghiệm. Điểm cốt lõi nhất trong phép biến đổi Lorentz là thời gian và quãng đường đi được của đối tượng do hai người quan sát là khác nhau. Đặc biệt khái niệm "thời gian địa phương" của người quan sát của Lorentz được nhà toán học Henri Poincaré đánh giá là ý tưởng "tài tình nhất".

4. Hệ quy chiếu và bất biến

4.1. Biến đổi tọa độ không gian

Trong hình học Euclide, chúng ta đã quen thuộc với việc sử dụng phép biến đổi tọa độ không gian. Để đơn giản chúng ta chỉ xem xét không gian hai chiều, tuy mọi tính chất toán học quan trọng mà chúng ta quan tâm sẽ không thay đổi trong không gian nhiều chiều hơn. Một điểm $P$ cho trước được mô tả bằng các tọa độ $(x_1,x_2)$ trong hệ tọa độ thứ nhất và $(x_1^{\prime },x_2^{\prime })$ trong hệ tọa độ thứ hai quay đi một góc $\theta$ so với hệ tọa độ thứ nhất như trong Hình 4.

Hình 4: Phép quay không gian bảo toàn khoảng cách

Sử dụng kiến thức hình học và lượng giác phổ thông, chúng ta có thể tìm ra công thức biến đổi quay hệ tọa độ như sau$$\begin{array}{}{x}_1^{\prime }=\cos \theta x_1+\sin \theta x_2,x_2^{\prime }=\sin \theta x_1-\cos \theta x_2& \text{(6)}\end{array}$$
Hiển nhiên khoảng cách của đoạn OP không thay đổi khi ta quay hệ tọa độ. Do đó$$\begin{array}{}O{P}^2=x_1^2+x_2^2=x_1^{{}^{\prime }2}+x_2^{{}^{\prime }2}& \text{(7)}\end{array}$$
Không những thế, khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ $P$ và $Q$ cũng không thay đổi với phép quay hệ tọa độ theo trục bất kỳ trong hình học Euclide.

Theo ngôn ngữ của toán học, khoảng cách bất biến với phép quay. Trong không gian Euclide 2 chiều chỉ có một phép quay, trong không gian 3 chiều có 3 phép quay độc lập theo ba trục không gian vuông góc với nhau. Tổng quát, trong không gian $n$ chiều có $n(n-1)/2$ phép quay độc lập. Như vậy, chúng ta sẽ hiểu tại sao trong các giáo trình toán cao cấp, định nghĩa hình học Euclide bao gồm các phép biến đổi quay hệ tọa độ và tính chất bất biến khoảng cách. Trong sách giáo khoa phổ thông, các thuộc tính bất biến được "ngầm định" xem như đúng hiển nhiên, không phát biểu thành tiên đề. Các tính chất bất biến với phép quay này được sử dụng trong các bài toán dựng hình và khi chứng minh các trường hợp bằng nhau của tam giác.

Về mặt vật lý, người ta "lý giải" về khả năng ứng dụng hình học Euclide với bất biến khoảng cách là do không gian có tính đồng nhất và đẳng hướng. Nếu trong không gian có một phân bố không đồng đều của các chất, nó sẽ không còn thuần nhất và đẳng hướng nữa. Các hình sẽ bị "méo đi" khi bị dịch chuyển trong các không gian như vậy. Chẳng hạn khi trong không gian có trường hấp dẫn khá mạnh, các đường thẳng sẽ bị uốn cong. Khi đó người ta sẽ phải sử dụng hình học Riemann thay cho hình học Euclide. Như vậy, bất biến khoảng cách không phải là một chân lý hiển nhiên bất di bất dịch. Khoa học không đặt niềm tin mù quáng vào bất cứ chân lý được thừa nhận nào của quá khứ.

4.2. Hệ quy chiếu

Khi có thêm chiều thời gian trong hình học, chúng ta sẽ có khái niệm hệ quy chiếu, bao gồm các tọa độ không gian và thời gian. Thời gian là một số thực, do đó chúng ta sẽ có 4 biến thực khác nhau. Tuy nhiên, chúng ta sẽ thấy hình học không thời gian có tính chất khác không gian Euclide 4 chiều ở tính bất biến về khoảng cách. Trong hình học không thời gian, bất biến về khoảng cách bị thay thế bất biến khoảng không thời gian được định nghĩa như sau$$\begin{array}{}d{s}^2=(y_1-x_1{)}^2+(y_2-x_2{)}^2+(y_3-x_3{)}^2-c^2(\tau -t{)}^2& \text{(8)}\end{array}$$
đối với hai sự kiện xảy ra tại các tọa độ không gian $(x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3)$ và tại các thời điểm lần lượt là $t$ và $\tau$.

Điều làm khoảng cách có thể thay đổi trong hình học không thời gian không phải là do không gian mất tính đồng nhất và đẳng hướng, mà chính là do các chuyển động với vận tốc lớn. Điều này chúng ta chưa hề biết trong vật lý cổ điển, khi hình học Euclide được coi là duy nhất và hiển nhiên là đúng với thực tiễn. Khoảng cách và thời gian đo được sẽ thay đổi khi người quan sát chuyển động với vận tốc lớn cho phép vận tốc ánh sáng không phụ thuộc vào hệ quy chiếu. Đó chính là ý nghĩa sâu xa của bất biến khoảng không thời gian.

Trong không gian ba chiều chúng ta sẽ có 3 phép biến đổi Lorentz độc lập tương tự như trong công thức (1), ứng với 3 tọa độ không gian khác nhau. Như vậy, chúng ta có 3 phép quay tọa độ độc lập trong không gian và 3 phép biến đổi Lorentz độc lập. Poincaré là người đầu tiên nhận ra phép biến đổi Lorentz có tính chất giống như phép quay. Điều khác biệt chỉ là thay các hàm lượng giác thông thường trong công thức (6) bằng các hàm lượng giác hyperbole. Như vậy trong mặt phẳng $(ct,x)$ chúng ta có phép quay hyperbole.$$\begin{array}{}c{t}^{\prime }=\cosh \theta ct-\sinh \theta x{x}^{\prime }=-\sinh \theta ct+\cosh \theta x& \text{(9)}\end{array}$$
Chúng ta sẽ tìm hiểu ý nghĩa của các hàm lượng giác hyperbole khi liên hệ với các hàm lượng giác bình thường như sau: Nếu trong công thức Moivre$$\begin{array}{}{e}^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta & \text{(10)}\end{array}$$
sử dụng biến số thuần ảo $\zeta =-i\theta$ chúng ta sẽ có$$\begin{array}{}{e}^{\zeta }=\cosh \zeta +\sinh \zeta & \text{(11)}\end{array}$$
Do đó,$$\begin{array}{}\cosh \zeta =\frac{e^x+e^{-x}}{2},\sinh \zeta =\frac{e^x-e^{-x}}{2}& \text{(12)}\end{array}$$
Hàm lượng giác hyberbole có tính chất sau$$\begin{array}{}{\cosh }^2\zeta -{\sinh }^2\zeta =1& \text{(13)}\end{array}$$
Sử dụng tính chất này chúng ta sẽ kiểm tra được khoảng không thời gian $x_2-c_2{t}_2$ bất biến với các phép quay hyperbole (9). Mặt khác, chúng ta cũng kiểm tra được phép biến đổi Lorentz trong công thức (1) chính là phép quay hyperbole với tham số quay $\theta$ xác định qua vận tốc tương đối giữa hai hệ quy chiếu$$\begin{array}{}\tanh \theta =\frac{\sinh \theta }{\cosh \theta }=\frac{v}{c}& \text{(14)}\end{array}$$
Trong vật lý, phép quay Lorentz còn gọi là phép ném do biến đổi một hệ quy chiếu thành một hệ quy chiếu chuyển động với vận tốc $v$ so với nó.

5. Không gian Minkowski

Năm 1907, nhà toán học Hermann Minkowski, vốn là thày dạy toán của Einstein, nhận thấy tất cả các công thức trong lý thuyết tương đối hẹp do Einstein, Lorentz và Poincaré xây dựng đều có thể viết lại đẹp đẽ trong không gian 4 chiều với 4 tọa độ như sau $(x_1,x_2,x_3,x_0=ct)$. Khoảng không thời gian bất biến là$$\begin{array}{}d{s}^2=d{x}_1^2+d{x}_2^2+d{x}_3^2-d{x}_0^2& \text{(15)}\end{array}$$
trong đó $d{x}_{\mu },\mu =1,2,3,0$ là chênh lệch về tọa độ không thời gian giữa hai sự kiện bất kỳ.

So với không gian Euclide 4 chiều $R^4$, hình học không thời gian chỉ có thay đổi một dấu trừ trong định nghĩa khoảng bất biến. Như chúng ta sẽ thấy, khi áp dụng vào thực tiễn, chỉ dấu trừ trong định nghĩa khoảng bất biến này sẽ đảo lộn nhiều nhận thức hàng ngày của chúng ta. Có một cách quan niệm khác: Nếu thời gian là một số ảo, chúng ta sẽ có bất biến như trong hình học Euclide. Nói rộng ra: thời gian cũng là một chiều không gian ảo và ngược lại không gian là chiều thời gian ảo. Như vậy số ảo tồn tại trong thế giới thực. Khiên cưỡng với các số thực mới là phi thực tế. Học Toán là để có một tư duy cởi mở và linh hoạt chứ không phải để tự trói mình vào những kiến thức quen thuộc và lạc hậu.

Như vậy, không gian Minkowski đã thống nhất không gian với thời gian, các phép biến đổi Lorentz chính là các phép quay đặc biệt trong không gian 4 chiều này đã "hòa trộn" không gian với thời gian. Các sự kiện vật lý xảy ra trong thực tế đều mô tả bởi một điểm trong không gian Minkowski. Việc thống nhất không thời gian trong hình học Minkowski dẫn tới việc thống nhất rất nhiều đại lượng khác với nhau. Các vector 3 chiều trong hình học không gian đều cần được mở rộng thành các vector 4 chiều trong hình học không thời gian.

Trước hết chúng ta hãy xét vector vận tốc $\overrightarrow{v}=(v_x,v_y,v_z)$. Thay cho vận tốc, trong vật lý, người ta thường dùng vector xung lượng $\overrightarrow{p}=m\overrightarrow{v}$. Trong hình học Minkowski, mọi vector đều có 4 thành phần, như vậy chúng ta cần bổ sung thêm một thành phần nữa. Thành phần thứ tư của xung lượng mở rộng chính là một đại lượng quen thuộc trong vật lý là năng lượng. Ta có vector năng xung lượng trong hình học Minkowski định nghĩa như sau:$\overrightarrow{p}=(p_1,p_2,p_3,p_0)=(p_x,p_y,p_z,E)$. Việc thống nhất năng lượng với xung lượng vào một vector năng-xung lượng có một ý nghĩa rất sâu xa. Xung lượng là gắn liền với biến thiên theo các hướng không gian. Năng lượng sẽ gắn với biến thiên theo thời gian trong cơ học lượng tử và là nền tảng cho phương trình Schrodinger nổi tiếng mô tả các hiện tượng lượng tử trong thế giới vi mô. Điều đó hàng chục năm sau Minkowski mới được các nhà vật lý hiểu rõ.

Một trong những vẻ đẹp nữa của hình học Minkowski là việc mô tả lý thuyết điện từ của Maxwell một cách thống nhất. Như chúng ta biết, lý thuyết điện từ do nhà vật lý người Scottland James Clerk Maxwell phát hiện vào năm 1865. Lý thuyết này bao gồm tất cả các định luật về điện và từ. Lý thuyết này tiên đoán được sự tồn tại của sóng điện từ có ứng dụng thực tế rất rộng rãi ngày nay. Ánh sáng cũng là một loại sóng điện từ đặc biệt. Trong lý thuyết Maxwell có hai đại lượng cơ bản là từ trường $\overrightarrow{B}=(B_x,B_y,B_z)$ và điện trường $\overrightarrow{E}=(E_x,E_y,E_z)$. Câu hỏi đặt ra là làm thế nào mô tả điện trường và từ trường trong hình học Minkowski, khi các vector trong hình học này phải có 4 chiều?

Khác với trường hợp của năng-xung lượng, mô tả của điện trường và từ trường không đơn giản là thêm vào thành phần thứ 4. Trong thực tế, không có đại lượng vật lý nào ứng với thành phần thứ tư của điện trường hoặc từ trường cả. Người ta đã tìm ra một vector 4 chiều trong hình học Minkowski $\overrightarrow{A}=(A_1,A_2,A_3,A_0)$ gọi là vector thế năng điện từ. Khi đó điện trường và từ trường có thể biểu diễn qua vector thế năng điện từ như sau
$$\begin{array}{}\begin{array}{cc}\overrightarrow{E}& =\left(F_{01},F_{02},F_{03}\right),\overrightarrow{B}=\left(F_{12},F_{23},F_{31}\right)\\ F_{\mu \nu }& =-F_{\nu \mu }={\partial }_{\mu }{A}_{\nu }-{\partial }_{\nu }{A}_{\mu }\end{array}& \text{(16)}\end{array}$$
trong đó $\mu ,\nu =1,2,3,0$ và ${\partial }_{\mu }$ là đạo hàm theo biến thứ $\mu$. Các phương trình Maxwell, vốn rất khó nhớ bây giờ có thể viết thành dạng đơn giản và đẹp đẽ tương tự như phương trình sóng đối với thế năng điện tử $A_{\mu }$ như sau
$$\begin{array}{}\left(\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\right)A_{\mu }=0& \text{(17)}\end{array}$$
Điều đáng nói là trong hình học Minkowski, điện trường và từ trường được thống nhất với nhau thông qua một vector thế năng điện từ trường 4 chiều.

Ban đầu Einstein nghĩ rằng hình học Minkowski chỉ là một công cụ để mô tả các công thức toán học cho đẹp đẽ hơn. Nhưng ông đã nhanh chóng nhận ra ý nghĩa của hình học này trong việc thống nhất các đại lượng vật lý tưởng chừng riêng rẽ với nhau. Từ đó, ông đã có phát minh vĩ đại nhất của nhân loại là lý thuyết tương đối rộng, khi mở rộng hình học Minkowski cho các không gian không có tính đồng nhất. Năm 1915, Einstein công bố lý thuyết tương đối rộng với các công thức toán học sử dụng các vector 4 chiều rất rộng rãi. Khi đó, Minkowski đã qua đời được 6 năm, không kịp chứng kiến sự ra đời của công trình khoa học vĩ đại nhất của nhân loại do học trò của mình khám phá.

Ngày nay cách mô tả các đại lượng vật lý thông qua các vector 4 chiều của Minkowski trở nên phổ biến rộng rãi trong vật lý. Nhờ đó, Dirac đã tìm ra phương trình mô tả electron và positron và các hạt vật chất. Cũng nhờ đó, Yang và Mills phát hiện được phương trình Yang-Mills mô tả các tương tác giữa các vật chất.

6. Hình học không thời gian và thực tế

6.1. Công thức năng lượng của Einstein

Việc thống nhất năng lượng và xung lượng trong không gian Minkowski có một hệ quả vô cùng quan trọng. Tương tự như bất biến khoảng không thời gian, năng xung lượng cũng liên quan tới một đại lượng bất biến là khối lượng thông qua công thức
$$\begin{array}{}{p}^2=p_1^2+p_2^2+p_3^3-E^2=-m^2{c}^4& \text{(18)}\end{array}$$
Chúng ta sẽ không tìm cách dẫn ra công thức này theo cách mà Einstein và các nhà toán học và vật lý đồng thời với ông đã làm. Các cách dẫn này chứa đựng nhiều quan điểm khác nhau, kể cả sai sót, còn đang tranh luận cho tới ngày nay [2].

Tuy nhiên, những người quan tâm tới cơ sở toán học chặt chẽ của công thức năng xung lượng (18) có thể thấy khối lượng chính là bất biến Casimir trong lý thuyết biểu diễn nhóm Poincaré của E.P.Wigner [3]. Chính vì thế, khối lượng là đặc trưng. Chúng ta hãy viết lại công thức năng xung lượng trong hệ tọa độ Descartes $(x,y,z)$ dưới dạng
$$\begin{array}{}E=\sqrt{m^2{c}^4+p_x^2+p_y^2+p_z^2}& \text{(19)}\end{array}$$
Khi xung lượng bằng 0, chúng ta có công thức năng lượng nổi tiếng của Einstein
$$\begin{array}{}E=m{c}^2& \text{(20)}\end{array}$$
Công thức này có một ý nghĩa vô cùng quan trọng: Do khối lượng của vật chất tương đương với năng lượng, khi khối lượng mất đi sẽ giải phóng ra một năng lượng vô cùng lớn. Đó chính là cơ sở của năng lượng nguyên tử.

Hình 5: Bom nguyên tử tại Hiroshima và Nagasaki

Năm 1938, người ta đã phát hiện năng lượng được giải phóng trong rã hạt nhân nguyên tử uran khi bị bắn phá bởi các hạt neutron. Bên cạnh đó, trong các phản ứng tổng hợp các hạt nhân nhẹ thành hạt nhân năng, cũng có một lượng năng lượng lớn gấp bội được giải phóng. Công thức khối lượng là thành tựu vĩ đại đáng lẽ chỉ để giải quyết vấn đề năng lượng cho loài người, nhưng tiếc thay, công thức này bị lạm dụng để làm các loại vũ khí hủy diệt chưa từng thấy trong lịch sử. Đó là vết nhơ trong lịch sử loài người. Điều đó cho thấy, để đi vào ứng dụng thực tế, các nhà khoa học cần có nền tảng đạo đức vững chắc bên cạnh kiến thức khoa học uyên thâm.

6.2. Quan niệm mới về thời gian và khoảng cách

Trong hình học không thời gian, do các khái niệm không gian và thời gian được hòa trộn, các quan niệm về khoảng cách và thời gian tuyệt đối mà chúng ta thừa nhận như các chân lý hiển nhiên không còn đúng nữa. Trước hết là ở tính đồng thời. Hai sự kiện được gọi là đồng thời nếu xảy ra tại cùng một thời điểm. Do thời gian trong các hệ quy chiếu khác nhau là khác nhau, nên hai sự kiện được coi là đồng thời trong một hệ quy chiếu sẽ không còn là đồng thời trong hệ quy chiếu khác. Điều đó cũng tương tự như có hai sự kiện đồng thời xảy ra tại thành phố Hồ Chí Minh và Hà Nội, nhưng đối với người trên chuyến máy bay từ Hà Nội đi thành phố Hồ Chí Minh hoặc ngược lại thì một sự kiện sẽ xảy ra trước sự kiện kia.

Trong Hình 6, có một tia sáng chiếu từ giữa toa tàu đang chuyển động. Người quan sát đứng ở trên tàu sẽ thấy tia sáng chiếu đến đầu tàu và cuối tàu đồng thời. Trong khi đó, người đứng trên sân ga sẽ thấy tia sáng đến cuối tàu sớm hơn do quãng đường ánh sáng phải đi ngắn hơn. Bạn đọc có thể tự nghĩ ra rất nhiều tình huống lý thú khi tính đồng thời bị vi phạm.

Hình 6: Tính đồng thời phụ thuộc vào hệ quy chiếu

Do thời gian trong các hệ quy chiếu khác nhau là khác nhau do phép biến đổi Lorentz, không những tính đồng thời bị vi phạm mà thời trôi đi trong hệ quy chiếu này có thể dài hoặc ngắn hơn thời gian trôi đi trong hệ quy chiếu kia. Người ta có một kịch bản giả tưởng về hai anh em sinh đôi, sống trên hai hệ quy chiếu khác nhau, người này sẽ già hơn người kia khi gặp lại. Chính vì thế câu chuyện Từ Thức gặp tiên, khi trở về quê nhà, những người thân đều đã qua đời, vẫn có phần thực tế trong hình học không thời gian. Nếu cõi tiên của Từ Thức ở trong một hệ quy chiếu chuyển động, ông sẽ thấy thời gian ngắn hơn so với hệ quy chiếu gắn với quê hương, nơi có người thân của ông sinh sống.

Độ dài cũng thay đổi trong các hệ quy chiếu khác nhau. Người quan sát sẽ thấy vật chuyển động ngắn lại nhờ phép biến đổi Lorentz. Điều đáng chú ý là mặc dù thời gian bị đảo lộn trong hệ quy chiếu, trong hình học không thời gian, tính nhân quả không bị đảo lộn. Nếu một sự kiện $A$ là hệ quả của một sự kiện $B$, trong mọi hệ quy chiếu sự kiện $A$ luôn là hệ quả của sự kiện $B$. Do đó, trong mọi hệ quy chiếu, người quan sát sẽ phải luôn luôn thấy cha sinh trước con.

7. Công nghệ GPS và thuyết tương đối

Các ví dụ nói trên tuy rất thú vị về mặt triết lý, nhưng đều có vẻ trừu tượng và giả tưởng. Trong phần này, chúng ta hãy xét một ví dụ về ứng dụng hình học không thời gian trong thực tế.

Công nghệ định vị toàn cầu GPS là công nghệ xác định vị trí của các vật chuyển động trên bề mặt Trái Đất nhờ các vệ tinh trong không gian. Từ các vật trên mặt đất, người ta cho phát đi sóng điện từ đến các vệ tinh, vệ tinh sẽ nhận được tín hiệu sóng và qua đó tính được khoảng cách từ vật phát sóng đến vệ tinh. Nếu có nhiều vệ tinh (trong thực tế hệ thống GPS có 24 vệ tinh), từ các khoảng cách khác nhau, người ta sẽ xác định được chính xác vị trí của vật trên mặt đất (Xem Hình 7). Chính trong công nghệ này ảnh hưởng của hình học không thời gian đặc biệt quan trọng [4] Các vệ tinh chuyển động trên quỹ đạo quanh Trái Đất với tốc độ $14.000\text{km/giờ}$. Do đó đồng hồ trên các vệ tinh sẽ chạy nhanh hơn các đồng hồ trên Trái Đất chừng 7 micro giây trong một ngày đêm. Do quỹ đạo của các vệ tinh cách mặt đất chừng $20.000\text{km}$, lực hấp dẫn trên vệ tinh sẽ nhỏ hơn trên mặt đất 4 lần. Các hiệu ứng hấp dẫn lại làm đồng hồ trên mặt đất chạy nhanh 45 micro giây trong một ngày đêm. Như vậy về tổng số, đồng hồ trên mặt đất sẽ chạy nhanh hơn đồng hồ trên vệ tinh 38 giây trong một ngày.

Hình 7: Công nghệ định vị bằng vệ tinh

Để đo được vị trí của vật trên mặt đất bằng công nghệ GPS chính xác tới $15\text{m}$, sai số đo thời gian phải dưới 50 nanô giây. Nếu không tính tới các hiệu ứng của thuyết tương đối, mỗi ngày đêm sai số sẽ tích lũy khoảng $10\text{km}$, một con số rất lớn làm sai lệch việc đo khoảng cách bằng GPS. Ngày nay, hiệu chỉnh thời gian với hình học không thời gian và hình học Riemann bao gồm hiệu ứng hấp dẫn rất quan trọng trong công nghệ GPS.

8. Mở rộng hình học không thời gian

Năm 1915, Einstein đã ứng dụng hình học Riemann vào vật lý bằng cách mở rộng hình học không thời gian và bỏ qua điều kiện bất biến khoảng không thời gian. Hình học này đã mô tả sự hình thành vũ trụ và tương tác hấp dẫn từ các khoảng cách xa nhau hàng triệu năm ánh sáng.

Tuy nhiên, đó vẫn chưa phải là giới hạn cuối cùng của sự mở rộng. Ngày nay, hình học Riemann mở rộng thêm các chiều không gian và hơn một chiều thời gian cũng bắt đầu được nghiên cứu. Bên cạnh đó các tính chất hình học như độ cong, độ xoắn và các tính chất topo của không thời gian đang đem lại rất nhiều quan niệm mới mở ra những chân trời ứng dụng mới không những cho khoảng cách lớn giữa các Thiên hà mà cả ở các khoảng cách vô cùng bé, nơi các quan niệm hiện tại của chúng ta về không thời gian sẽ phải thay đổi rất nhiều.

Ứng dụng toán học là tìm và phát triển các mô hình toán học phù hợp với thực tiễn. Thực tiễn không dừng lại với bất kỳ lý thuyết toán học cụ thể nào.

9. Tài liệu

[1] Nguyễn Ái Việt, Cấu trúc không thời gian: Tập 1.Thuyết tương đối hẹp và đối xứng không thời gian (sắp xuất bản)
[2] E.Hecht, American Journal of Physics, 79 (6) (2011) 591–600
[3] V.Bargmann and E.P.Wigner, Proc. Natl. Acad. Sci. 34 (5) (1948) 211–23.
[4] C.M.Will,Stable clocks and general relativity (1995) arxiv: gr-qc/9504017

Nguồn: Nguyễn Ái Việt, "Hình học và thời gian", tạp chí Epsilon, số 12, 2016, https://drive.google...iew?usp=sharing