Sơ lược về các hình học phi Euclid
Đọc bài dưới đây của tác giả Nguyễn Ngọc Sơn, mình thấy đoạn viết về hình học Lobachevskii không rõ, trong khi đoạn viết về hình học Riemann quá ngắn, không thể hiện được gì, đành viết bổ sung giải thích một tý. Diễn đạt đơn giản thì sự khác nhau giữa ba loại hình học của Euclid và của hai nhà toán học lừng danh trên là "Tổng ba góc trong một tam giác lớn hơn, bằng hay nhỏ hơn 180°". Dưới đây là hình minh họa.
Trong hình học Hyperbolic (Lobachevskii), tổng các góc trong một tam giác nhỏ hơn 180°. Nghiên cứu cấu trúc các nguyên tử phải sử dụng hình học này.
Hình học Elliptic (Riemann) xây dựng trên cơ sở mặt cầu, tổng các góc trong của một tam giác cầu lớn hơn 180°. Nghiên cứu quả đất, không gian vũ trụ, thiết kế các tuyến đường hàng hải, giao thông quốc tế... phải sử dụng hình học này.
*****
Đôi điều về hình học phi Euclid
Nguyễn Ngọc Sơn: Truyện kể rằng, vào năm 1823, Farkas Bolyai (1775-1858) đã viết thư cho người con trai là Janos Bolyai (15/12/1802-27/1/1860) người Hungary rằng: "Con đừng đi vào con đường mà bố đã đi, đừng nhảy vào "hang không đáy" đã nuốt hết trí tuệ, tinh lực và tâm huyết của bố". Đây là lời khuyên từ đáy lòng, từ trách nhiệm của người bố đã suốt cả cuộc đời nghiên cứu định đề 5 của Euclid mà không thành công.
Khi biết con mình yêu thích nghiên cứu "lý thuyết các đường song song", thì F. Bolyai đã rất sợ hãi và đã viết cho con mình (trong một bức thư khác) như sau:
"Con sẽ không thể nào chiến thắng được lý thuyết các đường song song bằng con đường ấy. Bố đã đi đến cuối con đường ấy và đã lạc vào một đêm đen dày đặc, một tia sáng của ngọn nến cũng không có và đã chôn vùi ở đó bao niềm hạnh phúc của đời mình. Khi lao vào các học thuyết cô quạnh về các đường song song, con sẽ chẳng còn gì cả. Con hãy lẩn tránh nó như lẩn tránh những dục vọng thấp hèn, nó sẽ làm hao mòn sức lực của con, cướp đi sự an nhàn, quấy đảo sự yên tĩnh và sẽ giết chết những niềm vui của cuộc sống. Bóng tối mịt mùng sẽ nuốt chửng cả những chòi tháp khổng lồ và sẽ chẳng có lóe sáng trên trái đất tối tăm. Chẳng bao giờ con người có thể đạt tới một sự thực hoàn mĩ ngay chính trong hình học. Chúa trời hãy cứu vớt con khỏi những ham mê con ôm ấp..."
Nhưng F. Bolyai không ngờ rằng câu nói của chính ông trước đây đã làm J. Bolyai bị thu hút vào vấn đề này (câu nói đó có nội dung như sau: " Ai chứng minh được tiên đề về các đường thẳng song song, người đó sẽ sáng ngời như một viên kim cương to bằng trái đất"). Và chàng J. Bolyai trẻ tuổi đã đã không vì những lời cảnh báo của bố mình mà lùi bước. Tránh những thất bạo của những người đi trước, J. Bolyai đã đi theo con đường của riêng mình. Ông đã không tìm cách chứng minh định đề 5 của Euclid, mà đã xét nó như một tiên đề độc lập. Và khi phủ định định đề 5 của Euclid, J. Bolyai đã xây dựng được một hệ thống hình học mới (mà về sau còn được gọi là hình học phi Ơclit). Các kết quả về hình học này của ông cũng phong phú và những chứng minh của ông rất hoàn thiện.
J. Bolyai là một nhà toán học thiên tài, nhưng bị đố kị, chê bai và bị cả những điều đơm đặt về ông. Cuộc sống của J. Bolyai luôn bị bọn quý tộc chèn ép, bao vây cả về tinh thần lẫn vật chất. Người bố chính là một nhà toán học đầy tâm huyết và rất thương con, nhưng từ bài học sai lầm rút ra từ chính cuộc đời nghiên cứu toán học của mình, F.Bolyai đã vô tình trở thành vật cản của con trên con đường tìm tòi, sáng tạo.
Năm 1831, J. Bolyai đã công bố công trình của mình dưới dạng phụ lục ở mỗi cuốn sách của bố mình. Phụ lục trình bày "Học thuyết tuyệt đối đúng về không gian". F. Bolyai đã viết thư cho Carl Friedrick Gauss (30/4/1777-23/2/1855) đề nghị Gauss cho nhận xét về công trình nghiên cứu của J.Bolyai. Trong thư trả lời, Gauss đã nói rằng ông không thể ngợi khen công trình đó, vì như thế tức là tự khen mình. Ông nói rằng tư tưởng của J. Bolyai trong phụ lục chính là tư tưởng của ông trong nhiều năm trước đây. Sau đó Gauss đã viết thư cho Goling với ý cho rằng nhà toán học trẻ tuổi J. Bolyai là một thiên tài.
Phải nói rằng lời đánh giá trên đây của nhà toán học lỗi lạc Gauss là hoàn toàn chân thực. Thật vậy, từ năm 1824, trong thư gửi cho người bạn là Tolinos, Gauss đã viết: "Tổng ba góc trong một tam giác phẳng phải nhỏ hơn 180°, giả định này sẽ dẫn đến những đặc thù khác hoàn toàn với hình học của chúng ta. Tôi phát triển nó và thu được những kết quả hoàn toàn khiến ta hài lòng".
Và bức thư nổi tiếng mà Gauss đã gửi Frants Adonf Taurinus cũng chứng tỏ rằng, Gauss đã nắm được các ý niệm quan trọng của hình học phi Euclid. Nhưng đó mới chỉ là những đoạn rời rạc, những phát kiến mặc dù đã rất sâu sắc. tuy nhiên lúc bấy giờ Gauss đã không công bố những kết quả nghiên cứu này của mình.
Thư trả lời của Gauss đã làm cho J. Bolyai có những hiểu lầm lớn. J. bolyai nghĩ rằng Gauss đã dùng uy danh của mình để cướp đi quyền phát minh về hệ thống hình học mới của ông. Vì thế J. Bolyai rất đau lòng và đã thề rằng sẽ vứt bỏ mọi nghiên cứu toán học. Tháng 10 - 1848, J. Bolyai đã được bố mình gửi cho luận văn "Nghiên cứu về lý thuyết các đường song song" của N.I. Lobachevskii, xuất bản bằng tiếng Đức năm 1840. J. Bolyai đã ngạc nhiên, vì thấy rằng N.I. Lobachevskii ccũng đã đi đến những kết quả giống như mình, và J. Bolyai cũng rất khâm phục tài năng của N.I. Lobachevskii.
Phải nói rằng lời đánh giá trên đây của nhà toán học lỗi lạc Gauss là hoàn toàn chân thực. Thật vậy, từ năm 1824, trong thư gửi cho người bạn là Tolinos, Gauss đã viết: "Tổng ba góc trong một tam giác phẳng phải nhỏ hơn 180°, giả định này sẽ dẫn đến những đặc thù khác hoàn toàn với hình học của chúng ta. Tôi phát triển nó và thu được những kết quả hoàn toàn khiến ta hài lòng".
Và bức thư nổi tiếng mà Gauss đã gửi Frants Adonf Taurinus cũng chứng tỏ rằng, Gauss đã nắm được các ý niệm quan trọng của hình học phi Euclid. Nhưng đó mới chỉ là những đoạn rời rạc, những phát kiến mặc dù đã rất sâu sắc. tuy nhiên lúc bấy giờ Gauss đã không công bố những kết quả nghiên cứu này của mình.
Thư trả lời của Gauss đã làm cho J. Bolyai có những hiểu lầm lớn. J. bolyai nghĩ rằng Gauss đã dùng uy danh của mình để cướp đi quyền phát minh về hệ thống hình học mới của ông. Vì thế J. Bolyai rất đau lòng và đã thề rằng sẽ vứt bỏ mọi nghiên cứu toán học. Tháng 10 - 1848, J. Bolyai đã được bố mình gửi cho luận văn "Nghiên cứu về lý thuyết các đường song song" của N.I. Lobachevskii, xuất bản bằng tiếng Đức năm 1840. J. Bolyai đã ngạc nhiên, vì thấy rằng N.I. Lobachevskii ccũng đã đi đến những kết quả giống như mình, và J. Bolyai cũng rất khâm phục tài năng của N.I. Lobachevskii.
Cùng thời với J.Bolyai, ở Cadan (Thủ đô của nước cộng hòa tự trị Tacta thuộc Liên Bang Nga), đã xuất hiện một ngôi sao sáng, đó là nhà toán học thiên tài Nicolai Ivanovich Lobachevskii ( 1.12.1792-24.2.1856).
N.I.Lobachevskii đã từng là giáo sư xuất sắc, hiệu trưởng của trường đại học tổng hợp Cadan. Ông đã tìm cách chứng minh rằng, từ các định đề và tiên đề khác của hình học Ơclit cổ điển, không thể suy ra định đề 5. Để chứng minh điều đó, ông đã giữ nguyên các định đề và tiên đề khác của hình học Ơclit cổ điển và thay thế định đề 5 bằng một tiên đề phủ định của tiên đề Ơclit, và do đó cũng là phủ định của định đề 5. Ngày nay, tiên đề này được gọi là tiên đề Lobachevskii.
N.I.Lobachevskii đã từng là giáo sư xuất sắc, hiệu trưởng của trường đại học tổng hợp Cadan. Ông đã tìm cách chứng minh rằng, từ các định đề và tiên đề khác của hình học Ơclit cổ điển, không thể suy ra định đề 5. Để chứng minh điều đó, ông đã giữ nguyên các định đề và tiên đề khác của hình học Ơclit cổ điển và thay thế định đề 5 bằng một tiên đề phủ định của tiên đề Ơclit, và do đó cũng là phủ định của định đề 5. Ngày nay, tiên đề này được gọi là tiên đề Lobachevskii.
Tiên đề này có nội dung như sau: "Trong mặt phẳng, qua một điểm không nằm trên một đường thẳng cho trước, có ít nhất hai đường thẳng không cắt đường thẳng đã cho".
Rồi từ đó Lobachevski đã xây dựng nên một thứ hình học mới không có mâu thuẫn. Những kết quả của hình học mới này "trái mắt", trái với trực quan hàng ngày của chúng ta, trái với hình học Ơclit quen thuộc.
Ngày 11-2-1826, Lobachevski đã công bố kết quả của mình về hình học phi Ơclit trên diễn đàn vật lý – số học của trường đại học tổng hợp Cadan. Sau đó, công trình nghiên cức về hình học phi Ơclit của Lobachevski với tiêu đề "Về các cơ sở hình học", đã được đăng ở tờ báo "Thông báo Cadan" xuất bản năm 1829. Còn công trình của J.Bolyain về hình học phi Ơclit được công bố vào năm 1831 ( độc lập với Lobachevski ). Ngày nay, chúng ta gọi hình học phi Ơclit (do Lobachevski và J.Bolyai đã độc lập với nhau và đồng thời tìm ra ) là Hình học Lobachevski hoặc Hình học Lobachevski-Bolyai. Ngày 11.2.1826 được thế giới gọi là ngày ra đời của hình học này.
Trong thời đại của Lobachevski, hầu như không ai hiểu được tư tưởng của ông, nhiều người đã chế nhạo ông. Nhưng Lobachevski đã dũng cảm và tin tưởng phát triển hình học mới của mình. Ông đã kiên trì nghiên cứu và công bố công trình nghiên cứu của mình ngày càng chi tiết hơn, đầy đủ hơn. Một năm trước khi qua đời, Lobachevski đã bị mù. Khi đó ông còn đọc cho học trò của mình chép một công trình sáng tạo mới mang tên "Hình học phẳng", trong đó ông đã chỉ rõ hình học Ơclit chỉ là trường hợp giới hạn của hình học phi Ơclit của ông. Lobachevski đã gửi công trình cuôí cùng này cho trường đại học tổng hợp Cadan - nơi cả cuộc đời sáng tạo của ông đã trôi qua ở đó.
Ngày 24-2-1856. Lobachevski đã qua đời, vài chục năm sau người ta mới công nhận toàn bộ những tư tưởng của ông.
Công trình nghiên cứu của Lobachevski và J.Bolyai về hình học phi Ơlit là một thành tựu vĩ đại của khoa học, đã mở ra một kỷ nghiên mới của toán học, của vật lý và của nhiều ngành khoa học khác có liên quan.
Vào năm 1882, nhà toán học H.J.Poincare đã xây dựng được một mô hình (gọi là mô hình Poincare) của Hình học Lobachevskii phẳng, khi sử dụng các "vật liệu" lấy từ hình học Ơclit phẳng.
Rồi từ đó Lobachevski đã xây dựng nên một thứ hình học mới không có mâu thuẫn. Những kết quả của hình học mới này "trái mắt", trái với trực quan hàng ngày của chúng ta, trái với hình học Ơclit quen thuộc.
Ngày 11-2-1826, Lobachevski đã công bố kết quả của mình về hình học phi Ơclit trên diễn đàn vật lý – số học của trường đại học tổng hợp Cadan. Sau đó, công trình nghiên cức về hình học phi Ơclit của Lobachevski với tiêu đề "Về các cơ sở hình học", đã được đăng ở tờ báo "Thông báo Cadan" xuất bản năm 1829. Còn công trình của J.Bolyain về hình học phi Ơclit được công bố vào năm 1831 ( độc lập với Lobachevski ). Ngày nay, chúng ta gọi hình học phi Ơclit (do Lobachevski và J.Bolyai đã độc lập với nhau và đồng thời tìm ra ) là Hình học Lobachevski hoặc Hình học Lobachevski-Bolyai. Ngày 11.2.1826 được thế giới gọi là ngày ra đời của hình học này.
Trong thời đại của Lobachevski, hầu như không ai hiểu được tư tưởng của ông, nhiều người đã chế nhạo ông. Nhưng Lobachevski đã dũng cảm và tin tưởng phát triển hình học mới của mình. Ông đã kiên trì nghiên cứu và công bố công trình nghiên cứu của mình ngày càng chi tiết hơn, đầy đủ hơn. Một năm trước khi qua đời, Lobachevski đã bị mù. Khi đó ông còn đọc cho học trò của mình chép một công trình sáng tạo mới mang tên "Hình học phẳng", trong đó ông đã chỉ rõ hình học Ơclit chỉ là trường hợp giới hạn của hình học phi Ơclit của ông. Lobachevski đã gửi công trình cuôí cùng này cho trường đại học tổng hợp Cadan - nơi cả cuộc đời sáng tạo của ông đã trôi qua ở đó.
Ngày 24-2-1856. Lobachevski đã qua đời, vài chục năm sau người ta mới công nhận toàn bộ những tư tưởng của ông.
Công trình nghiên cứu của Lobachevski và J.Bolyai về hình học phi Ơlit là một thành tựu vĩ đại của khoa học, đã mở ra một kỷ nghiên mới của toán học, của vật lý và của nhiều ngành khoa học khác có liên quan.
Vào năm 1882, nhà toán học H.J.Poincare đã xây dựng được một mô hình (gọi là mô hình Poincare) của Hình học Lobachevskii phẳng, khi sử dụng các "vật liệu" lấy từ hình học Ơclit phẳng.
Trong mặt phẳng Ơclit, lấy một đường thẳng x nằm ngang, chia mặt phẳng thành hai miền, mà ta gọi là "nửa trên" và "nửa dưới". Ta có các quy ước sau đây về các khái niệm cơ bản của Hình học Lobachevski phẳng: "Điểm" là điểm Ơclit thông thường thuộc "nửa trên" và không thuộc x; "Đường thẳng" là nửa đường tròn thông thường thuộc "nửa trên" và có tâm thuộc x, hoặc tà tia thông thường thuộc nửa trên, có gốc thuộc x và vuông góc với x.
Tiếp tục, trong mô hình này, xác định rõ ý nghĩa của các khái niệm cơ bản khác, mà cụ thể là các tương quan cơ bản sau đây: "thuộc", "ở giữa", "bằng nhau" ( còn gọi là "toàn đẳng") , trong đó "thuộc" và "ở giữa" được hiểu như thông thường.
Người ta đã kiểm nghiệm tất cả các tiên đề của Hình học Lobachevskii đối với mô hình nêu trên, và thấy rằng mô hình đã thỏa mãn tất cả các tiên đề đó.
Thêm vào những điều ở trên, ta có định lý sau đây của Hình học Lobachevskii: "Tổng ba góc trong của một tam giác nhỏ hơn hai góc vuông".
Tiếp tục, trong mô hình này, xác định rõ ý nghĩa của các khái niệm cơ bản khác, mà cụ thể là các tương quan cơ bản sau đây: "thuộc", "ở giữa", "bằng nhau" ( còn gọi là "toàn đẳng") , trong đó "thuộc" và "ở giữa" được hiểu như thông thường.
Người ta đã kiểm nghiệm tất cả các tiên đề của Hình học Lobachevskii đối với mô hình nêu trên, và thấy rằng mô hình đã thỏa mãn tất cả các tiên đề đó.
Thêm vào những điều ở trên, ta có định lý sau đây của Hình học Lobachevskii: "Tổng ba góc trong của một tam giác nhỏ hơn hai góc vuông".
Việc xây dựng thành công mô hình của Hình học Lobachevskii đã chứng minh:
a) Hình học Lobachevskii là phi mâu thuẫn.
b) Từ các tiên đề khác của hình học Ơclit không thể suy ra được tiên đề Ơclit.
Hình học Lobachevskii không phải là hình học phi Ơclit duy nhất. Hình học Riemann theo nghĩa hẹp của Georg Friedrich Bernhard Rienmann (1826-1866) người Đức cũng là hình học phi Ơclit. Để có được hệ tiên đề củahình học Riemann nghĩa hẹp, phải thay đổi hệ tiên đề của hình học Ơclit nhiều hơn là những thay đổi mà Lobachevskii đã thực hiện.
Ngoài các hình học vừa nêu, còn nhiều hình học khác, trong đó có hình học fractal. Thuật ngữ fractal do nhà toán học Benoit Mandtelbrot người Pháp, gốc Balan, đề nghị từ những năm 1970. Tuy mới ra đời nhưng hình học này đã phát triển nhanh chóng, gắn liền với đồ họa vi tính, có nhiều ứng dụng trong phân tích và tổng hợp hình, trong việc xây dựng mô hình của các quá trình địa lý, quá trình sinh học (hoạt động của tim người, phát triển của cây trồng)...
http://diendantoanhoc.net/home/l%E1%BB%8Bch-s%E1%BB%AD-to%C3%A1n-h%E1%BB%8Dc/779-%C4%91%C3%B4i-%C4%91i%E1%BB%81u-v%E1%BB%81-h%C3%ACnh-h%E1%BB%8Dc-phi-euclid
http://diendantoanhoc.net/home/l%E1%BB%8Bch-s%E1%BB%AD-to%C3%A1n-h%E1%BB%8Dc/824-%C4%91%C3%B4i-%C4%91i%E1%BB%81u-v%E1%BB%81-h%C3%ACnh-h%E1%BB%8Dc-phi-euclid-ph%E1%BA%A7n-2
Bổ sung:
Riemann là nhà toán học có ảnh hưởng lớn nhất ở khoảng giữa thế kỉ 19. Những công trình ông xuất bản không nhiều, nhưng mở ra những ngành nghiên cứu mới kết hợp giải tích và hình học, bao gồm lý thuyết của hình học Riemann, hình học đại số và lý thuyết về đa tạp phức. Những lý thuyết về mặt Riemann được mở rộng bởi Felix Klein và đặc biệt là Adolf Hurwitz. Lãnh vực này trong toán là những nền tảng trong tô pô, và trong thế kỉ 21 vẫn được áp dụng trong các cách thức mới vào toán vật lý.
Hình học Riemann là một nhánh của hình học vi phân nghiên cứu các đa tạp Riemann, đa tạp trơn với metric Riemann hay với một tích trong (inner product) trên không gian tiếp tuyến tại mỗi điểm mà các điểm này thay đổi trơn từ điểm này sang điểm khác. Điều này cho các kết quả đặc biệt như khái niệm cục bộ về góc, độ dài cung, diện tích mặt, và thể tích. Từ các khái niệm này một vài đại lượng toàn cục được dẫn ra bằng cách tích phân các thành phần cục bộ.
Hình học Riemann bắt nguồn từ tầm nhìn của Bernhard Riemann trong một bài giảng của ông Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen (tiếng Việt: Về các giả thuyết trong đó hình học là cơ sở). Nó là một sự tổng quát trừu tượng và rộng lớn của hình học vi phân các mặt cong trong R3. Quá trình phát triển hình học Riemann đã tổng hợp rất nhiều kết quả khác nhau trong hình học của các mặt và mối quan hệ của các đường trắc địa trên các mặt, các kĩ thuật của nó được ứng dụng để nghiên cứu các đa tạp khả vitrong không gian nhiều chiều. Hình học Riemann cũng được áp dụng trong thuyết tương đối tổng quát của Albert Einstein, có tác động tích cực đến lý thuyết nhóm và lý thuyết biểu diễn, cũng như là giải tích toàn cục, và là động lực để phát triển tô pô đại số và tô pô vi phân.
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét